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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.5 - Ex. 63

Um bloco retangular uniforme de altura h e massa m está centrado em uma posição horizontal, sobre a superfície circular fixa de raio r . Determine o valor limite de h para haver estabilidade.

Passo 1

Se o sistema está em equilíbrio, ao girarmos bloco de um ângulo pequeno δ θ , devemos ter uma variação da energia potencial do sistema igual a zero:

δ V δ θ = 0

Além disso, se a segunda derivada da função potencial for positiva, o equilíbrio será estável:

δ 2 V δ θ 2 > 0 → E q u i l í b r i o   e s t á v e l

Então, vamos calcular a variação da energia potencial gravitacional relacionada com h , e tentar satisfazer a condição de equilíbrio estável.

Passo 2

Vamos desenhar o bloco inclinado de um ângulo θ em relação à vertical, e tentar calcular a altura y o seu centro de massa.

Como vemos na figura, a altura do centro de massa em função de θ é:

y = r cos ⁡ θ + r θ sen ⁡ θ + h 2 cos ⁡ θ

Derivando, obtemos a veriação δ y da altura em função da variação δ θ :

δ y = - r sen ⁡ θ + r sen ⁡ θ + r θ cos ⁡ θ - h 2 sen ⁡ θ δ θ = r θ cos ⁡ θ - h 2 sen ⁡ θ δ θ

Então temos a variação da energia potencial:

δ V = m g δ y = m g r θ cos ⁡ θ - h 2 sen ⁡ θ δ θ

Passo 3

Já temos a derivada da função potencial:

δ V δ θ = m g r θ cos ⁡ θ - h 2 sen ⁡ θ

No nosso caso temos θ = 0 , então δ V / δ θ já é igual a zero. Falta então que δ 2 V δ θ 2 seja positivo. Derivando de novo:

δ 2 V δ θ 2 = m g r cos ⁡ θ - r θ sen ⁡ θ - h 2 cos ⁡ θ > 0

Para θ = 0 o cosseno é 1 e o seno é zero, temos então:

m g r - h 2 > 0

Cortando m g :

r - h 2 > 0

⇒ r > h 2

⇒ h < 2 r

Resposta

h < 2 r

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