A bomba centrífuga com palhetas radiais lisas gira em torno de seu eixo vertical com uma velocidade angular constante θ ˙ = ω . Encontre o módulo N da força exercida por uma palheta sobre uma partícula P de massa m conforme essa se desloca ao longo da palheta. A partícula é introduzida em r = r 0 sem velocidade radial. Assuma que a partícula tem contato somente com a lateral da palheta.

O módulo da força exercida sobre a partícula N = 2 m ω 2 r 2 - r 0 2 .

Enunciado

Primeiro é importante perceber que essa imagem é uma visão de cima, ou seja, o peso da partícula é perpendicular ao plano da página.

Vamos começar analisando as forças na direção radial:

Porque a única força que a centrífuga faz sobre a partícula (a normal) é sempre perpendicular ao raio. E então:

Para as forças na direção tangencial:

Ok, então ficamos com o seguinte sistema:

A primeira equação do sistema é uma equação diferencial ordinária linear homogênea do segundo grau:

Essa é uma equação bastante comum, e você deve lembrar da solução geral para ela:

Eprecisamos achar as constantes através das condições iniciais:

E então a nossa solução é:

E substituindo isso na segunda equação do sistema:

Ainda podemos melhorar um pouco essa fórmula para a força normal:

Retomando a nossa solução para :

E pela relação fundamental:

Agora podemos substituir na equação anterior:

E como podemos disfarçá-lo de para que ele possa entrar naquela raiz quadrada:

Agora sim, resolvido!

O módulo da força exercida sobre a partícula .