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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 172

Se o braço OA gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de θ ˙ = 2   r a d / s , determine as intensidades da velocidade e aceleração do pino P em θ = 30 ° . O pino move-se na fenda fixa definida pela lemniscata, e ao longo da fenda no braço.

Passo 1

Começaremos o exercício encontrando as expressões para as derivadas das posições no tempo:

r 2 = 4 s e n 2 θ

2 r r ˙ = 8 c o s ⁡ ( 2 θ ) θ ˙

r ˙ = 4 cos ⁡ 2 θ θ ˙ r

2 r r ¨ + r ˙ 2 = 8 - 2 s e n 2 θ θ ˙ 2 + cos ⁡ 2 θ θ ¨

r ¨ = 4 cos ⁡ 2 θ θ ¨ - 2 s e n 2 θ θ ˙ 2 - r ˙ 2 r

Para θ temos:

θ ˙ = 2   r a d / s

θ ¨ = 0

Passo 2

Para o instante θ = 30 ° , temos:

r θ = 30 ° = 4 s e n 60 = 1,861   m

r ˙ θ = 30 ° = 4 cos ⁡ 60 2 1,861 = 2,149   m / s

r ¨ θ = 30 ° = 4 cos ⁡ 60 0 - 2 s e n 60 2 2 - 2,149 2 1,861 = - 17,37   m / s 2

Com isso, podemos calcular as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = 2,149   m / s

v θ = r θ ˙ = 1,861 2 → v θ = 3,722   m / s

Sendo assim, o módulo da velocidade é dado por:

v = v r 2 + v θ 2 = 2,149 2 + 3,722 2

v = 4,3   m / s

Passo 3

Agora podemos calcular as componentes da aceleração:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - 17,37 - 1,861 2 2 → a r = - 24,82   m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 0 + 2 2,149 2 → a θ = 8,597   m / s 2

Sendo assim, podemos encontrar o módulo da aceleração:

a = a r 2 + a θ 2 = - 24,82 2 + 8,597 2

a = 26,3   m / s 2

Resposta

v = 4,3   m / s

a = 26,3   m / s 2

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