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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 178

Quando θ = 15 ° o carro tem uma velocidade escalar de 50   m / s a qual está aumentando a 6   m / s 2 . Determine a velocidade angular da câmera acompanhando o carro nesse instante.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade angular da câmera acompanhando o carro nas condições dadas no enunciado.

Nos é dada a equação da posição:

r = 100 cos ⁡ 2 θ

Vamos derivar essa equação dos dois lados:

d d t ( r ) = d d t ( 100 cos ⁡ 2 θ )

d r d t = - 100 2 sin ⁡ 2 θ d θ d t

r ˙ = - 200 sin ⁡ 2 θ θ ˙

A segunda derivada é dada por:

d d t ( r ˙ ) = d d t ( - 200 sin ⁡ 2 θ θ ˙ )

Note que agora temos que aplicar a regra do produto na derivação pois temos sin ⁡ 2 θ multiplicando θ ˙ .

A regra do produto é aplicada quando é necessário fazer a derivada do produto de equações.

Logo:

d r ˙ d t = - 200 2 cos ⁡ 2 θ d θ d t θ ˙ + sin ⁡ 2 θ d θ ˙ d t

r ¨ = - 200 2 cos ⁡ 2 θ θ ˙ θ ˙ + sin ⁡ 2 θ θ ¨

r ¨ = - 200 2 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 + sin ⁡ 2 θ θ ¨

Passo 2

Vamos agora aplicar θ = 15 ° :

r θ = 15 ° = 100 cos ⁡ 30 °

r θ = 15 ° = 86,60   m

r ˙ θ = 15 ° = - 200 sin ⁡ 30 ° θ ˙

r ˙ θ = 15 ° = - 100 θ ˙   m / s

r ¨ θ = 15 ° = - 200 2 cos ⁡ 30 ° θ ˙ 2 + sin ⁡ 30 ° θ ¨

r ¨ θ = 15 ° = - 100 θ ¨ - 346,41 θ ˙ 2   m / s 2

Passo 3

Agora pensa comigo... A velocidade é tangente à trajetória, então ela forma um ângulo ϕ , como mostrado no diagrama abaixo:

Os valores de v r e v θ são então dados por:

v r = r ˙

v θ = r θ ˙

E de acordo com o nosso diagrama, temos que:

v r = - 5 0 cos ⁡ ϕ

v θ = 5 0 sin ⁡ ϕ

Logo:

- 5 0 cos ⁡ ϕ = - 100   θ ˙

5 0 sin ⁡ ϕ = 86,60   θ ˙

Dividindo as equações, temos:

5 0 sin ⁡ ϕ 5 0 cos ⁡ ϕ   = 86,60   θ ˙ 100   θ ˙

tan ⁡ ϕ = 86,60 100

ϕ = tan - 1 ⁡ 86,60 100

ϕ = 40,89 °

Logo:

5 0 sin ⁡ 40,89 ° = 86,60   θ ˙

θ ˙ = 0,3 78   r a d / s

Resposta

θ ˙ = 0 , 378   r a d / s

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