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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 74

Cada uma das três bolas têm uma massa m . Se A é liberada do repouso em θ , determine o ângulo ϕ para o qual C eleva-se após a colisão. O coeficiente de restituição entre cada bola é e .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro vamos descobrir com que velocidade o bloco A atinge a placa. Aplicando conservação de energia, temos:

( T A ) 1 + ( V A ) 1 = ( T A ) 2 + ( V A ) 2

0 + m g l ( 1 - cos ⁡ θ ) = 1 2 m v A 1 2 + 0

v A 1 = 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ )

Agora que sabemos a velocidade inicial de A no impacto, precisamos encontrar a velocidade após o impacto:

m A v A 1 + m B v B 1 = m A v A 2 + m B v B 2

m 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) + 0 = m v A 2 + m v B 2

Precisamos de outra equação para resolver o sistema, temos:

→ +       e = v B 2 - v A 2 v A 1 - v B 1

e = v B 2 - v A 2 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) - 0

Relacionando as equações e resolvendo o sistema, temos:

v B 2 = ( 1 + e ) 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2

v A 2 = ( 1 - e ) 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2

Passo 2

Agora vamos aplicar o mesmo procedimento para saber o que acontece quando a bola B acerta a bola C .

m B v B 2 + m C v C 1 = m B v B 3 + m C v C 2

m ( 1 + e ) 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 + 0 = m B v B 3 + m C v C 2

Precisamos de outra equação para resolver o sistema, temos:

→ +       e = v C 2 - v B 3 v B 2 - v C 1

e = v C 2 - v B 3 ( 1 + e ) 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 - 0

Relacionando as equações e resolvendo o sistema, temos:

v C 2 = 1 + e 2 4 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ )

v B 3 = 1 - e 2 4 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora que sabemos as velocidades, podemos aplicar o principio da conservação de energia para encontrar o valor de ϕ .

T 2 + V 2 = T 3 + V 3

1 2 m v 2 2 + m g h 2 = 1 2 m v 3 2 + m g h 3

0 + 1 2 m 1 + e 2 4 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 = 0 + m g l ( 1 - cos ⁡ ϕ )

1 2 1 + e 2 4 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 = g l ( 1 - cos ⁡ ϕ )

1 2 1 + e 2 4 2 2 g l ( 1 - cos ⁡ θ ) = g l ( 1 - cos ⁡ ϕ )

1 + e 4 16 ( 1 - cos ⁡ θ ) = ( 1 - cos ⁡ ϕ )

cos ⁡ ϕ = 1 - 1 + e 4 16 ( 1 - cos ⁡ θ )

ϕ = cos - 1 ⁡ 1 - 1 + e 4 16 ( 1 - cos ⁡ θ )

Resposta

ϕ = cos - 1 ⁡ 1 - 1 + e 4 16 ( 1 - cos ⁡ θ )

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