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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 63

O caixote tem uma massa de 130   k g . Determine a tração desenvolvida em cada cabo para que haja equilíbrio.

Passo 1

Oi pessoal? Vamos para mais um exercício?

Para que o sistema esteja em equilíbrio, temos que:

∑ F → = 0

W → + F D A → + F D B → + F D C → = 0

Sabemos que o vetor força é dado pelo produto entre a intensidade da força e o vetor direção unitário relacionado a ele.

Temos que: (podemos trazer o eixo para o D ser o ponto (0,0,0)...)

D A → = 2 i - 1 j + 1 k - 0 i + 0 j + 0 k

D A → = 2 i - 1 j + 1 k

D B → = - 2 i - 1 j + 1 k - 0 i + 0 j + 0 k

D B → = - 2 i - 1 j + 1 k

D C → = - 2 i + 2 j + 1 k - 0 i + 0 j + 0 k

D C → = - 2 i + 2 j + 1 k

Passo 2

Agora podemos encontrar o vetor força de cada elemento:

F D A → = F D A ⋅ 2 i - 1 j + 1 k 2 2 + - 1 2 + 1 2

F D A → = F D A ⋅ 2 i - 1 j + 1 k 2,45

Para A B , temos:

F D B → = F D B ⋅ - 2 i - 1 j + 1 k - 2 2 + - 1 2 + 1 2

F D B → = F D B ⋅ - 2 i - 1 j + 1 k 2,45

E para A C , temos:

F D C → = F D C ⋅ - 2 i + 2 j + 1 k - 2 2 + 2 2 + 1 2

F D C → = F D C ⋅ - 2 i + 2 j + 1 k 3

Passo 3

Como dito anteriormente, nossa condição de equilíbrio é de que:

W → + F D A → + F D B → + F D C → = 0

Portanto:

F D A ⋅ 2 i - 1 j + 1 k 2,45 + F D B ⋅ - 2 i - 1 j + 1 k 2,45 + F D C ⋅ - 2 i + 2 j + 1 k 3 + - W k = 0

Rearranjando, temos que:

2 2,45 F D A - 2 2,45 F D B - 2 3 F D C i + - 1 2,45 F D A - 1 2,45 F D B + 2 3 F D C j + 1 2,45 F D A + 1 2,45 F D B + 1 3 F D C - W k = 0

Temos então 3 equações:

2 2,45 F D A - 2 2,45 F D B - 2 3 F D C = 0

- 1 2,45 F D A - 1 2,45 F D B + 2 3 F D C = 0

1 2,45 F D A + 1 2,45 F D B + 1 3 F D C - W = 0

Como W = 130 ⋅ 9,81 = 1275,3   N , temos 3 equações e 3 incógnitas.

Fazendo um sistema com essas equações temos que:

F D A = 1596,24   N

F D B = 520,75   N

F D C = 1275,3   N

Resposta

F D A = 1596,24   N

F D B = 520,75   N

F D C = 1275,3   N

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