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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 126

O poste vertical, linha de transmissão e os dois cabos de amarração do Prob. 3/96 são mostrados aqui novamente. Como parte de um estudo do projeto, as seguintes condições são consideradas. A força trativa T 2 vale 1000 N e é constante, com ângulo fixo de 10°. O ângulo de 10° para T 1 também é fixo, mas o módulo de T 1 pode variar desde 0 até 2000 N. Para cada valor de T 1 , determine e plote o módulo das tensões idênticas nos cabos A D e B E e o ângulo θ para o qual o momento em O será zero. Explicite os valores de T e θ para T 1 = 1000   N .

Passo 1

Vamos calcular as componentes de todas as forças nas direções x , y e z , para depois aplicar as equações de equilíbrio. Definindo o valor de T 1 , temos as incógnitas θ e T . Como temos 2 incógnitas, conseguimos resolver (pois temos 2 equações de momento em torno de C , para a direção x e para a direção y ).

Passo 2

Primeiro para T 1 , temos:

T 1 x = - T 1 cos ⁡ 10 ° sen ⁡ 30 ° = - 0,4924 T 1

T 1 y = T 1 cos ⁡ 10 ° cos ⁡ 30 ° = 0,8529 T 1

T 1 z = - T 1 sen ⁡ 10 ° = - 0,1736 T 1

Passo 3

Para T 2 = 1000 :

T 2 x = 0

T 2 y = - T 2 cos ⁡ 10 ° = - 1000 cos ⁡ 10 ° = - 984,8   N

T 2 z = - T 2 sen ⁡ 10 ° = - 1000 sen ⁡ 10 ° = - 173,6   N

Passo 4

Agora para T → A e T → B , precisamos determinar a direção das forças em função de θ calculando os vetores unitários. Primeiro para T → A , temos:

r → A D = 8 cos ⁡ θ i ^ + 8 sen ⁡ θ j ^ - 9 k ^

r → A D = 8 cos ⁡ θ 2 + 8 sen ⁡ θ 2 + 9 2 = 64 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 81

= 64 + 81 = 12,04

Então temos o vetor unitário na direção A D :

n ^ A D = r → A D r → A D = 8 cos ⁡ θ i ^ + 8 sen ⁡ θ j ^ - 9 k ^ 12,04 = 0,6645 cos ⁡ θ i ^ + 0,6645 sen ⁡ θ j ^ - 0,7475 k ^

⇒ T → A = T ( 0,6645 cos ⁡ θ i ^ + 0,6645 sen ⁡ θ j ^ - 0,7475 k ^ )

Passo 5

Faremos o mesmo para T → B :

r → B E = 10 cos ⁡ θ i ^ + 10 sen ⁡ θ j ^ - 11 k ^

r → B E = 10 cos ⁡ θ 2 + 10 sen ⁡ θ 2 + 11 2 = 100 sen 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ + 121

= 100 + 121 = 14,87

n ^ B E = r → B E r → B E = 10 cos ⁡ θ i ^ + 10 sen ⁡ θ j ^ - 11 k ^ 14,87 = 0,6725 cos ⁡ θ i ^ + 0,6725 sen ⁡ θ j ^ - 0,7397 k ^

⇒ T → B = T 0,6725 cos ⁡ θ i ^ + 0,6725 sen ⁡ θ j ^ - 0,7397 k ^

Passo 6

Agora que temos as forças, vamos fazer os momentos em torno de C :

∑ M x = 0 ⇒ T 1 y ( 13 ) + T 2 y ( 13 ) + T A y ( 9 ) + T B y ( 11 ) = 0

⇒ 0,8529 T 1 × 13 - 984,8 × 13 + 0,6645 T sen ⁡ θ × 9 + 0,6725 T sen ⁡ θ × 11

⇒ 11,09 T 1 - 12800 + 13,38 T sen ⁡ θ = 0

⇒ 13,38 T sen ⁡ θ = 12800 - 11,09 T 1

⇒ T sen ⁡ θ = 956,7 - 0,8288   T 1

Para a direção y :

∑ M y = 0 ⇒ T 1 x 13 + T 2 x 13 + T B x 11 + T A x 9 = 0

⇒ - 0,4924 T 1 × 13 + 0,6645 T cos ⁡ θ × 9 + 0,6725 T cos ⁡ θ × 11

⇒ - 6,396 T 1 + 13,38 T cos ⁡ θ = 0 ⇒ 13,38 T cos ⁡ θ = 6,396 T 1

⇒ T cos ⁡ θ = 0,478 T 1

Mas sabemos que T 2 sen 2 ⁡ θ + T 2 cos 2 ⁡ θ = T 2 , então:

T 2 = 956,7 - 0,8288   T 1 2 + 0,478 T 1 2 = 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2

Finalmente chegamos então ao valor de T :

T = 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2

E agora achamos θ :

T cos ⁡ θ = 0,478 T 1 ⇒ cos ⁡ θ = 0,478 T 1 T

θ = arccos ⁡ 0,478 T 1 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2

Passo 7

Para T 1 = 1000 N, calculamos T e θ :

T = 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2 = 915300 - 1586000 + 915400

= 495   N

θ = arccos ⁡ 4780 495 = arccos ⁡ ( 9,66 ) = 15 °

Resposta

T ( T 1 ) = 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2

θ ( T 1 ) = arccos ⁡ 0,478 T 1 915300 - 1586 T 1 + 0,9154 T 1 2

T 1000 = 495   N

θ T 1 = 15 °

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