Enunciado

Calcule o momento fletor M na haste vertical em O para o conjunto do Prob. 7/78 devido a sua aceleração angular, quando o conjunto parte do repouso sob a ação de um torque de 64   N ⋅ m aplicado à haste em relação ao eixo z . Despreze o pequeno momento devido ao peso das barras.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, usaremos as relações de momento fletor e precisaremos encontrar uma das componentes do tensor de inércia e também usaremos os resultados obtidos no exercício mencionado.

Passo 2

Temos que no exercício anterior já foi calculado os primeiros termos para ∑ M x , ∑ M y e ∑ M z . Precisamos agora calcular os termos

∑ M x = - I x z ⋅ ω ˙ z

∑ M y = - I y z ⋅ ω ˙ z

∑ M z = I z z ⋅ ω ˙ z

Para calcular o ultimo termo, precisamos calcular três integrais para cada intervalo das barras. Ao calcular as integrais e somarmos, chegaremos o valor final de

∫ x 2 + y 2 ⋅ ρ ⋅ d V = 10 3 ⋅ m ⋅ b 2 = 0.016   k g ⋅ m 2

Do problema anterior, temos que I y z = I x z = 0.012   k g ⋅ m 2 . Usando o dado que o enunciado nos dá, temos que M z = 64   N ⋅ m , e sabemos também que M z = I z z ⋅ ω ˙ z . Assim

ω ˙ z = M z I z z = 64   N ⋅ m 0.016   k g ⋅ m 2 = 4000   r a d / s 2

E M x = - 0.012   k g ⋅ m 2 ⋅ 4000   r a d / s = - 48   N ⋅ m , M y = - 0.012   k g ⋅ m 2 ⋅ 4000   r a d / s = - 48   N ⋅ m .

Calculando o módulo do momento fletor, temos que

M = M x 2 + M y 2 = - 48   N ⋅ m 2 + - 48   N ⋅ m 2 = 48 ⋅ 2   N ⋅ m

Resposta

M = 48 ⋅ 2   N ⋅ m

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