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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.12 - Ex. 138

Determine a aceleração a → do ponto A sobre o disco do Prob. 7/135 para a posição mostrada.

Passo 1

Vamos utilizar algumas informações do problema anterior (137) que serão uteis para calcularmos a aceleração:

Ω → = 2 π τ s e n θ j ^ + c o s θ k ^ = 2 π τ r R j ^ + R 2 - r 2 R k ^

ω r e l = R r 2 π τ

A relação de aceleração entre dois pontos do sistema, A e a origem O, é dada pela equação:

a A → = a 0 → + Ω ˙ → × r → A / O + Ω → × Ω → × r → A / O + 2 Ω → × v → r e l + a → r e l

Passo 2

Como a origem não se movimento, a 0 → = 0 → , e como Ω não varia no tempo, Ω ˙ → = 0 → , vamos calcular o primeiro produto vetorial que sobrou:

Ω → × r → A / O = 2 π τ ( s e n θ j ^ + c o s θ k ^ ) × R 2 - r 2 j ^ + r k ^

Ω → × r → A / O = 2 π τ 2 r 2 R - R i ^

E agora calculamos o produto vetorial de fora:

Ω → × Ω → × r → A / O = 2 π τ r R j ^ + R 2 - r 2 R k ^ × 2 π τ 2 r 2 R - R i ^

Ω → × Ω → × r → A / O = 2 π τ 2 2 r 2 R 2 - 1 R 2 - r 2 j ^ - r k ^

A velocidade relativa será:

v → r e l = - r ω r e l i ^ = - r R r 2 π τ i ^ = - R 2 π τ i ^

E o produto vetorial dela com Ω → :

2 Ω → × v → r e l = 4 π τ r R j ^ + R 2 - r 2 R k ^ × - R 2 π τ i ^ = - 2 2 π τ 2 R 2 - r 2 j ^ - r k ^

E a aceleração relativa:

a → r e l = - r ω r e l 2 k ^ = - r R r 2 π τ 2 k ^ = - 2 π τ 2 R 2 r   k ^

Passo 3

Somando todos os termos calculados para encontrarmos a aceleração do ponto A:

a A → = 2 π τ 2 2 r 2 R 2 - 1 R 2 - r 2 j ^ - r k ^ - 2 2 π τ 2 R 2 - r 2 j ^ - r k ^ - 2 π τ 2 R 2 r   k ^

Resolvendo e simplificando:

a A → = 2 π τ 2 R 2 - r 2 2 r 2 R 2 - 3 j ^ + 3 r - R 2 r - 2 r 3 R 2 k ^

Resposta

a A → = 2 π τ 2 R 2 - r 2 2 r 2 R 2 - 3 j ^ + 3 r - R 2 r - 2 r 3 R 2 k ^

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