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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 163

Uma partícula move-se ao longo de um limaçon (ou caracol de Pascal) definido pela equação r = b - a c o s θ , onde a e b são constantes. Determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração da partícula como uma função de θ e suas derivadas temporais.

Passo 1

Primeiramente iremos encontrar o valor da primeira e segunda derivada de r (devemos nos atentar para a regra da cadeira com relação a θ , pois ela é uma função que depende do tempo):

r ˙ = a s e n θ θ ˙

r ¨ = a c o s θ θ ˙ 2 + a s e n θ θ ¨

Passo 2

Agora podemos encontrar as expressões para as componentes da velocidade:

v r = r ˙ = a s e n θ θ ˙

v θ = r θ ˙ = ( b - a c o s θ ) θ ˙

Passo 3

Agora podemos calcular os valores da aceleração nas coordenadas r e θ :

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = a c o s θ θ ˙ 2 + a s e n θ θ ¨ - b - a c o s θ θ ˙ 2

a r = 2 a c o s θ - b θ ˙ 2 + a s e n θ θ ¨

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = b - a c o s θ θ ¨ + 2 ( a s e n θ θ ˙ ) θ ˙

a θ = b - a c o s θ θ ¨ + 2 a θ ˙ 2 s e n θ

Resposta

v r = r ˙ = a s e n θ θ ˙

v θ = r θ = ( b - a c o s θ ) θ ˙

a r = 2 a c o s θ - b θ ˙ 2 + a s e n θ θ ¨

a θ = b - a c o s θ θ ¨ + 2 a θ ˙ 2 s e n θ

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