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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 160

A posição de uma partícula é descrita por r = 300 e - 0,5 t   m m e θ = 0,3 t 2   r a d , onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade e aceleração da partícula no instante t = 1,5 s.

Passo 1

Começaremos o exercício calculando a posição, a primeira e segunda derivadas da posição no instante t = 1,5 s. Para r:

r = 300 e - 0,5 t t = 1,5 s → r = 141,77   m m

r ˙ = - 150 e - 0,5 t t = 1,5 s → r ˙ = - 70,85   m m / s

r ¨ = 75 e - 0,5 t t = 1,5 s → r ¨ = 35,43   m m / s 2

Agora para θ :

θ = 0,3 t 2 t = 1,5 s → θ = 0,675   r a d

θ ˙ = 0,6 t t = 1,5 s → θ ˙ = 0,9   r a d / s

θ ¨ = 0,6 t = 1,5 s → θ ¨ = 0,6   r a d / s 2

Passo 2

Agora podemos escrever a velocidade da partícula:

v r = r ˙ = - 70,85   m m / s

v θ = r θ ˙ = 141,71 0,9 = 127,54   m m / s

Sendo assim, o módulo da velocidade da partícula é dado por:

v = v r 2 + v θ 2 = - 70,85 2 + 127,54 2

v = 146   m m / s

Passo 3

Agora podemos calcular a aceleração nas coordenadas r e θ :

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = 35,43 - 141,71 0,9 2

a r = - 79,36   m m / s 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = 141,71 0,6 + 2 - 70,85 0,9

a θ = - 42,51   m m / s 2

Sendo assim, o módulo da aceleração será:

a = a θ 2 + a r 2 = - 79,36 2 + - 42,51 2 = 90,0   m m / s 2

Resposta

v = 146   m m / s

a = 90,0   m m / s 2

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