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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 134

Um carro de corrida move-se com uma velocidade escalar constante de 240   k m / h em torno de uma pista de corrida elíptica. Determine a aceleração sentida pelo motorista em A.

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração. Como a velocidade é constante, a componente tangencial é nula. Portanto só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Para calcularmos as suas derivadas, vamos derivar a equação implicitamente. Depois, basta substituir na equação do raio de curvatura e fazer x = 4   k m e y = 0   k m , pois é a coordenada do ponto A. Depois é só substituir nas equações da cinemática!

Passo 2

Precisamos determinar também qual o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a equação implicitamente. Derivando uma vez, temos:

x 2 16 + y 2 4 = 1

x 8 + y 2 ⋅ d y d x = 0

d y d x = - x 4 y

Derivando a equação acima novamente, temos:

d 2 y d x 2 = - 4 y + x ⋅ 4 ⋅ d y d x 16 y 2

d 2 y d x 2 = - 4 y + 4 x ⋅ - x 4 y 16 y 2 = - 4 y 2 + x 2 16 y 3

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + x 2 16 y 2 3 / 2 4 y 2 + x 2 16 y 3

ρ = 16 y 2 + x 2 3 / 2 4 4 y 2 + x 2

Quando x = 4 e y = 0 , temos:

ρ = 1   k m

Passo 3

Agora podemos calcular a componente normal da aceleração. Desta forma, temos:

a n = v 2 ρ = 240 2 1 = 57600   k m / h 2

Portanto, a intensidade da aceleração é:

a = a t 2 + a n 2

a = 0 2 + a n 2 = a n

a = 57600   k m / h 2

Convertendo para m / s 2 , temos:

a = 4,44   m / s 2

Resposta

a = 4,44   m / s 2

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