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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 21

O torque M , aplicado à conexão leve O A através do eixo O , gira O A de um ângulo θ e eleva a extremidade A da barra uniforme A B de massa m . A extremidade B é sustentada por um pequeno rolete sobre a superfície horizontal. Quando θ = 0 , a barra A B está na horizontal. Determine o ângulo de equilíbrio para um dado valor de M . O que aconteceria sem M fosse maior que m g r / 2 ?

Passo 1

Utilizando o Princípio do Trabalho Virtual, se o sistema está em equilíbrio o trabalho virtual δ U total realizado pelas forças externas ativas para um deslocamento pequeno do sistema deve ser zero:

δ U = 0

Os nossos agentes externos ativos (que realizam trabalho em um deslocamento do sistema) são o peso m g da barra A B e o momento M . A força de apoio em O não pode realizar trabalho, pois esse ponto não se move. A força em B também não pode realizar trabalho, pois a força é vertical e o deslocamento nesse apoio só pode ser horizontal. Então devemos relacionar o trabalho infinitesimal causado pelo peso e pelo momento com o ângulo θ , e então igualar o trabalho total a zero.

Passo 2

Primeiro vamos calcular o trabalho δ U 1 feito pelo peso da barra A B . O trabalho será menos a variação da altura do centro da barra vezes o peso:

δ U 1 = - m g   δ h

Temos o sinal de menos pois se o deslocamento é para cima e a força é para baixo o trabalho é negativo. Agora precisamos relacionar δ h com a variação δ θ do ângulo. Se a altura do ponto O é fixa e igual a H , então a altura do ponto A é H - r cos ⁡ θ . E a altura do centro de massa da barra é metade da altura de A :

h = H - r cos ⁡ θ 2

Derivando, obtemos:

δ h = - r 2 - sen ⁡ θ δ θ = r 2 sen ⁡ θ δ θ

O valor de H desaparece por ser uma constante. Então o trabalho δ U 1 é:

δ U 1 = - m g   δ h = - m g r 2 sen ⁡ θ δ θ

Passo 3

Para um aumento δ θ do ângulo θ a barra O A gira δ θ no sentido anti-horário, mesmo sentido do momento. Então o trabalho δ U 2 feito pelo momento é:

δ U 2 = M δ θ

Passo 4

Pelo Princípio do Trabalho Virtual, temos então:

δ U = δ U 1 + δ U 2 = 0

⇒ - m g r 2 sen ⁡ θ δ θ + M δ θ = 0

⇒ M δ θ = m g r 2 sen ⁡ θ δ θ

Cortando δ θ , chegamos ao valor do ângulo:

M = m g r 2 sen ⁡ θ

⇒ sen ⁡ θ = 2 M m g r

θ = arcsen ⁡ 2 M m g r

Como o seno deve ser menor que 1, temos a seguinte desigualdade:

2 M m g r ≤ 1

⇒ M ≤ m g r 2

Caso M ≥ m g r / 2 , o sistema não pode ficar em equilíbrio, independente da angulação da barra O A .

Resposta

θ = arcsen ⁡ 2 M m g r

O equilíbrio é impossível se M ≥ m g r / 2

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