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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 47

O centro O da nave espacial está se deslocando através do espaço com uma velocidade constante. Durante o período do movimento anterior à estabilização, a nave espacial possui uma taxa de rotação constante Ω = 1 2   r a d / s em relação ao seu eixo z . Os eixos x - y - z estão presos ao corpo da nave, e os painéis solares giram em torno do eixo y na taxa constante θ ˙ = 1 4   r a d / s em relação à nave espacial. Se ω é a velocidade angular absoluta dos painéis solares, determine ω ˙ . Encontre também a aceleração do ponto A quando θ = 30 º .

Passo 1

Para resolvermos o problema, usaremos as relações de velocidade e aceleração relativa para um corpo em movimento. Também vamos usar conversões para unidades convenientes para facilitar nossos cálculos.

Passo 2

Precisamos inicialmente encontrar a velocidade dos painéis. Temos que nos é dado que sua velocidade absoluta é ω . Por ser uma velocidade absoluta, temos que ela será dada pela soma de todas as velocidades que corroboram com o movimento do corpo. Assim, teremos que:

ω = θ ˙ + Ω

Mas temos que Ω = Ω ⋅ k ^ e θ ˙ = - θ ˙ ⋅ j ^ . Assim, a equação ficará:

ω = - θ ˙ ⋅ j ^ + Ω ⋅ k ^

Como queremos sua variação ω ˙ precisamos derivar a relação encontrada, assim ficaremos com:

d ω d t = ω ˙ = - θ ¨ ⋅ j ^ - θ ˙ ⋅ j ^ ˙ + Ω ˙ ⋅ k ^ + Ω ⋅ k ^ ˙

Mas temos que Ω ˙ = 0 e θ ¨ = 0 , assim a equação fica:

ω ˙ = - θ ˙ ⋅ j ^ ˙ + Ω ⋅ k ^ ˙ = - θ ˙ ⋅ Ω ⋅ k ^ × j ^ + Ω ⋅ Ω ⋅ k ^ × k ^ = Ω ⋅ θ ˙ ⋅ i ^

ω ˙ = 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ i ^ = 1 8 ⋅ i ^   r a d / s 2

Para encontrarmos a aceleração, usaremos a relação para aceleração relativa vista no capitulo. Temos então que:

a A = a 0 + Ω ˙ × r A O + Ω × Ω × r A O + 2 ⋅ Ω × v r e l + a r e l

Onde:

a 0 = 0

r A O = - 0.6 ⋅ cos ⁡ 30 º ⋅ i ^ + 2.4 ⋅ j ^ + 0.6 ⋅ s e n 30 º ⋅ k ^ m

Ω × Ω × r A O = 0.076 ⋅ i ^ - 0.61 ⋅ j ^   m / s 2

2 ⋅ Ω × v r e l = -   0.132 ⋅ j ^   m / s 2

a r e l = 0.02 ⋅ i ^ - 0.033 ⋅ k ^   m / s 2

Assim, temos que a aceleração final será:

a A = 0.076 ⋅ i ^ - 0.6 ⋅ j ^   m / s 2 - 0.132 ⋅ j ^   m / s 2 + 0.02 ⋅ i ^ - 0.033 ⋅ k ^   m / s 2

a A = 0.09 ⋅ i ^ - 0.732 ⋅ j ^ - 0.033 ⋅ k ^ m / s 2

Resposta

Resposta: ω ˙ = 1 2 ⋅ 1 4 ⋅ i ^ = 1 8 ⋅ i ^   r a d / s 2

a A = 0.09 ⋅ i ^ - 0.732 ⋅ j ^ - 0.033 ⋅ k ^   m / s 2

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