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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 97

A chapa cilíndrica está submetida às três forças dos cabos que são concorrentes no ponto D . Expresse cada força que os cabos exercem na chapa como um vetor cartesiano e determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante.

Passo 1

Para expressar nossas forças como vetor cartesiano vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

Para o ponto A :

x A = 0,75   m

y A = 0   m

z A = 0   m

Para o ponto B :

x B = - 0,75 sin ⁡ 30 °

x B = - 0,375   m

y B = 0,75 cos ⁡ 30 °

y B = 0,650   m

z B = 0   m

Para o ponto C :

x C = - 0,75 sin ⁡ 45 °

x C = - 0,530   m

y C = - 0,75 cos ⁡ 45 °

y C = - 0,530   m

z C = 0   m

Teremos então:

A 0,75 ,   0 ,   0   m

B 0,375 ,   0,650 ,   0   m  

C - 0,530 ,   - 0,530 ,   0   m

D 0 ,   0 ,   3   m

Passo 2

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r A D = { 0 - 0,75 i + 0 - 0 j + 3 - 0 ) k }

r A D = { - 0,75 i + 3 k }   m

r B D = { 0 - 375 i + 0 - 0,650 j + 3 - 0 ) k }

r B D = { - 0,375 i - 0,650 j + 3 k }   m

r C D = { 0 - ( - 0,530 ) i + 0 - ( - 0,530 ) j + 3 - 0 ) k }

r C D = { 0,530 i + 0,530 j + 3 k }   m

Passo 3

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r A D |   = - 0,75 2 + 3 2

r A D = 3,0923   m

| r B D |   = - 0,375 2 + - 0,650 2 + 3 2

r B D = 3,0923   m

| r B C |   = 0,530 2 + 0,530 2 + 3 2

r B C = 3,0923   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores:

u = r r

u A D = ( - 0,75 i + 3 k   ) 3,0923

u B D = - 0,375 i - 0,650 j + 3 k   3,0923

u C D = ( 0,530 i + 0,530 j + 3 k   ) 3,0923

Passo 4

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos sabendo as suas intensidades:

F = F   u

F A = F A   u A D = 6   k N   ( - 0,75 i + 3 k   ) 3,0923

F A = - 1,4 i + 5,82 k   k N

F B = F B   u B D = 8   k N   - 0,375 i - 0,650 j + 3 k   3,0923

F B = 0,970 i - 1,68 j + 7,76 k   k N

F C = F C   u C D = 6   k N   ( 0,530 i + 0,530 j + 3 k   ) 3,0923

F C = 0,857 i + 0,857 j + 4,85 k   k N

Passo 5

Agora podemos encontrar o vetor cartesiano da nossa força resultante:

F R = F A + F B + F C

F R = - 1,46 i + 5,82 k + 0,970 i - 1,68 j + 7,76 k + ( 0,857 i + 0,857 j + 4,85 k )

F R = 0,367 i - 0,823 j + 18,43 k   k N

E a sua intensidade:

F R = 0,367 2 + - 0,823 2 + 18,43 2

F R = 18,5   k N

Passo 6

Finalmente podemos encontrar os ângulos de direção coordenados da F R pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 0,367 18,5   ∴ α = 88,6 °

β = cos - 1 ⁡ - 0,823 18,5   ∴ β = 92,6 °

γ = cos - 1 ⁡ 18,43 18,5   ∴ γ = 2,81 °

Resposta

F A = - 1,46 i + 5,82 j   k N

F B = 0,970 i - 1,68 j + 7,76 k   k N

F C = 0,857 i + 0,857 j + 4,85 k   k N

F R = 18,5   k N

α = 88,6 °

β = 92,6 °

γ = 2,81 °

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