34. O cilindro de 2,5   k g sustentado por molas é colocado em vibração livre vertical e se observa que ele possui um período de 0,75   s na parte (a) da figura. O sistema é em seguida totalmente imerso em um banho de óleo na parte (b) da figura, e o cilindro é deslocado a partir de sua posição de equilíbrio e liberado. Um amortecimento viscoso resulta e a razão de duas amplitudes sucessivas de deslocamentos no sentido positivo é 4 . Calcule o fator de amortecimento viscoso ξ , o coeficiente de amortecimento viscoso c e a constante de mola equivalente k .

Passo 1

Ora bolas! Se temos duas amplitudes sucessivas separadas por um ciclo completo, o que estamos esperando? Vamos usar a fórmula do decremento logarítmico δ :

δ = ln ⁡ x 1 x 2

Onde x 1 / x 2 = 4

δ = ln ⁡ 4

δ ≅ 1,386

Passo 2

Agora vamos usar a seguinte fórmula abaixo, que relaciona o decremento logarítmico δ com o fator de amortecimento 𝜉.

ξ = δ ( 2 π ) 2 + δ 2

E substituimos o valor numérico de δ :

ξ ≅ 1,386 ( 2 π ) 2 + ( 1,386 ) 2

ξ ≅ 0,215

Passo 3

Uma vez que o próprio enunciado nos fornece o período τ n do nosso sistema na ausência de amortecimento, podemos descobrir a frequência natural ω n de nosso sistema, que é dada por:

ω n = 2 π τ n

ω n = 2 π 0,75   s

ω n ≅ 8,38   r a d / s

Mas a frequência natural ω n também pode ser escrita em função da constante de mola k como:

ω n = k m

k = ω n 2 ⋅ m

Substituindo os valores que já sabemos para as variáveis, chegamos à:

k ≅ ( 8,38   r a d / s ) 2 ⋅ 2,5   k g

k ≅ 175,5   N m

Passo 4

Uma vez obtido o fator de amortecimento lá no P a s s o   2 , sabemos que ele está relacionado com o coeficiente c de amortecimento, pela fórmula abaixo:

ξ = c 2 m ω n

c = 2 m ξ ω n

Trocando os valores pertinentes a cada variável, alcançamos nosso resultado.

c ≅ 2 ( 2,5   k g ) ( 0,215 ) ( 8,38   r a d / s )

c ≅ 9,02   N ⋅ s m

Resposta

ξ ≅ 0,215

k ≅ 175,5   N m

c ≅ 9,02   N ⋅ s m

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