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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 58

O cilindro semicircular maciço de massa m gira em torno do eixo z como uma velocidade angular  ω   conforme indicado. Determine a sua quantidade de momento angular H em relação aos eixos x-y-z.

Passo 1

Facilitaremos muito nossas contas devido o giro ser somente no eixo z, onde implica, que as componentes x e y da velocidade angular serão 0.

Teremos então:

ω = ω k ^

Passo 2

Se olharmos na equação 7/11 veremos que só precisamos calcular I x z , I y z   , I z z

I x z = ∫ - x * z d m = 0 devido a colocação dos eixos estar no centro do disco em x-z está integral será 0, pois em algum limite de integração você integra uma função impar em um intervalo simétrico.

I y z   = ∫ - y * z d m = ∭ v o l u m e - y * z * ρ d v = m 4 r 3 π * ( c + b 2 )

Ou você pode primeiramente calcular I y z     no centro de massa e utilizar o teorema dos eixos paralelos para calcular na posição dada no problema.

I z z = ∫ x 2 + y 2 d m = ∭ r 2 - z 2 ρ d v = m r 2 2

Passo 3

O momento angular fica:

H = - I y z   * ω j ^ + I z z * ω k ^

H = - m 4 r 3 π c + b 2 i ^ + m r 2 2 k ^ ω = - 4 3 π c + b 2 j ^ + r 2 k ^ r m ω

Resposta

H = - 4 3 π c + b 2 j ^ + r 2 k ^ r m ω

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