Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 98
Um colar A de 1,8 kg e um colar B de 0,7 kg podem deslizar sem atrito sobre uma estrutura que consiste da barra horizontal OE e da barra vertical CD, livre para girar em torno de CD. Os dois colares estão conectados por uma corda que passa por uma roldana presa à estrutura em O. No instante mostrado na figura, a velocidade do colar A tem intensidade 2,1 m/s e uma trava impede o movimento do colar B. Se a trava for removida subitamente, determine (a) a velocidade do colar A quando ele estiver a 0,2 m de O, (b) a velocidade do colar A quando o colar B chegar ao repouso. (Admita que o colar B não atinja O, que o colar A não saia da barra OE, e que a massa da estrutura seja desprezível.
Passo 1
Oi, pessoal, tudo bem com vocês? Vamos primeiro analisar o problema.
Fomos informados que o colar e o colar podem deslizar sem atrito sobre uma estrutura que consiste da barra horizontal e da barra vertical , livre para girar em torno de . Então, a energia total e a quantidade de movimento angular em relação a são conservadas. (Perceba que o colar só tem a componente radial da velocidade e que no colar a energia potencial é zero).
Para a posição atual mostrada na figura, na qual a trava impede o movimento do colar , , observe que o colar não terá velocidade radial, , pois ele está conectado em . Portanto, .
O enunciado fornece os seguintes dados:
E pede que, na situação em que a trava é removida subitamente, determinemos qual a velocidade do colar quando:
- Ele estiver em de O;
- O colar chegar ao repouso, ou seja, .
A Posição 1 refere-se à situação inicial, ;
A Posição 2 refere-se ao ponto em que ;
E a Posição 3 refere-se ao momento em que o colar chega ao repouso após a trava ser retirada.
Passo 2
Aplicando o princípio da conservação do momento angular do colar :
Encontramos a componente transversal da velocidade para , que é, no caso, o nosso .
Vamos agora calcular a energia cinética e potencial.
Posição 1:
Na Posição 1 o colar está travado. Temos então:
Posição 2:
Posição na qual de .
Como o colar só tem velocidade radial, então
E como ele e o colar estão conectados pela corda,
Continuando o cálculo da energia cinética, fazendo as devidas substituições, temos,
Já sabemos que no colar a energia potencial é zero. Agora observe que, se o colar se desloca , para chegar a , consequentemente, se desloca também, portanto, .
Passo 3
Agora vamos aplicar o princípio da conservação de energia.
Em posse de , vamos encontrar :
E o ângulo formado com :
Passo 4
Calma, que ainda precisamos determinar a velocidade de quando chega ao repouso, que é a nossa Posição 3.
Posição 3:
Aplicando o princípio da conservação do momento angular do colar :
Calculando a energia cinética e potencial.
Como o colar está em repouso,
Substituindo a expressão que encontramos para e o valor da massa do colar :
Se o colar está em seu limite, então a velocidade radial do colar , , é zero. Assim,
Observe também, que estando o colar na sua posição 3, significa que ele percorreu uma distância
Calculando agora a energia potencial:
Passo 5
Vamos agora aplicar o princípio da conservação da energia:
Resolvendo a equação cúbica, sabendo que , temos que,
Substituindo o valor encontrado para na expressão obtida para :
Chegamos à velocidade do colar solicitada no item b.