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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.6 - Ex. 49

Para as condições descritas no Exemplo 7/2, exceto que γ está aumentando na taxa constante de 3 ⋅ π   r a d / s , determine a velocidade angular ω e a aceleração angular α do rotor quando a posição γ = 30 º é ultrapassada. (Sugestão: Aplique a Eq. 7/7 ao vetor ω para encontrar α . Observe que Ω no Exemplo 7/2 não é a velocidade angular completa dos eixos.)

Passo 1

Para resolvermos o problema, vamos usar as informações dadas no exemplo 7/2 e as relações que foram sugeridas pelo exercício para calcular a aceleração angular.

Passo 2

Inicialmente, vamos coletar os dados que foram obtidos no exemplo 7/2. Temos que:

ω y = 3 ⋅ π   r a d / s

ω z = 5 ⋅ π   r a d / s  

ω 0 = 4 ⋅ π   r a d / s

A diferença dessa vez é que agora o ângulo irá variar a uma taxa constante, portanto teremos uma componente x da velocidade angular que será dada por ω x = - γ ˙ = - 3 ⋅ π   r a d / s . Assim:

ω x y z = - γ ˙ ⋅ i ^ + Ω ⋅ cos ⁡ γ ⋅ j ^ + ω 0 + Ω ⋅ s e n γ ⋅ k ^

ω x y z = π ⋅ - 3 ⋅ i ^ + 3 ⋅ j ^ + 5 ⋅ k ^   r a d / s

Agora temos que calcular a aceleração angular. Temos que ela será dada, utilizando a equação sugerida para o caso de se estar em um referencial não-inercial, por:

α = d ω d t X Y Z = d ω d t x y z + ω e i x o s × ω x y z

Mas temos que d ω d t x y z = 0 - Ω ⋅ γ ˙ ⋅ s e n γ ⋅ j ^ + Ω ⋅ γ ˙ ⋅ cos ⁡ γ ⋅ k ^ e que, usando relações de velocidade relativa, ω e i x o s = ω x y z - ω 0 ⋅ k ^ . Assim, substituindo na equação teremos que:

α = - Ω ⋅ γ ˙ ⋅ s e n γ ⋅ j ^ + Ω ⋅ γ ˙ ⋅ cos ⁡ γ ⋅ k ^ + ( ω x y z - ω 0 ⋅ k ^ ) × ω x y z

Substituindo os valores, chegaremos que a aceleração angular será:

α = π 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ i ^ + 9 ⋅ j ^ + 3 ⋅ 3 ⋅ k ^   r a d / s 2

Resposta

Resposta: ω x y z = π ⋅ - 3 ⋅ i ^ + 3 ⋅ j ^ + 5 ⋅ k ^   r a d / s

α = π 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ i ^ + 9 ⋅ j ^ + 3 ⋅ 3 ⋅ k ^   r a d / s 2

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