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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 2

O cone circular reto é formado girando-se a área sombreada em torno do eixo x . Determine o momento de inércia I x e expresse o resultado em termos da massa total m do cone. O cone tem uma densidade constante ρ .

Passo 1

Bom, sabemos que d m = ρ . d V , então, para a figura dada, podemos considerar d m = ρ ( π   y 2   d x ) .

Passo 2

Feito o Passo 1, podemos encontrar a massa total do cone. Para isso, devemos integrar a massa de 0 a h . Então,

m = ∫ 0 h ρ   π   r 2 h 2   x 2   d x = p π r 2 h 2 1 3 h 3 = 1 3 ρ π r 2 h

Passo 3

Calculamos a massa do cone, show! Agora vamos calcular o momento de inércia no eixo x .

d I x = 1 2 y 2 d m =

= 1 2 y 2 ρ π y 2 d x =

= 1 2 ρ π r 4 h 4 x 4 d x =

I x = ∫ 0 h 1 2 ρ π r 4 h 4 x 4 d x = 1 10 ρ π r 4 h

Passo 4

Como o enunciado pede que calculemos o momento de inércia como função da massa, faremos isso!

I x = 1 10 ρ π r 4 h = 3 10 1 3 ρ π r 2 h r 2 = 3 10 m r 2

Resposta

I x = 3 10 m r 2

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