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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 110

Um cone sólido de 9 pol. Com uma base circular de raio de 3 pol. é suportado por uma junta esférica em A. Sabendo que o cone está girando em torno de seu eixo de simetria AB a uma taxa de 3000 rpm e que AB forma um ângulo, β = 60 ∘ com o eixo vertical AC, determine as duas taxas possíveis de precessão estável do cone em torno do eixo AC.

Passo 1

Use eixos principais xyz com origem em A como mostrado

Para o cone sólido

r = 3 i n = 0.25 f h = 9 i n = 0.75 t c = 3 h 4 = 0.5625 f t

I = 3 10 m r 2       I ' = 3 5 m h 2 + 1 4 r 2

I ' - r r = 3 5 m h 2 - 1 4 r 2

Passo 2

Velocidade angular

Giro: ψ ˙ sobre eixo z negativo

Precessão ϕ ˙   sobre eixo z positivo

ω = ϕ ˙ K - ψ ˙ k = ϕ ˙ ( c o s ⁡ β k + s i n ⁡ β j ) - ψ ˙ k

ω x = 0 , ω y = ϕ ˙ sin ⁡ β , ω z = ϕ ˙ cos ⁡ β - ψ ˙

Momento angular fixo sobre ponto A

H A = I ' ω x i + I ' ω y j + I ω z k = I ' ϕ ˙ s i n ⁡ β j + I ( ϕ ˙ c o s ⁡ β - ψ ˙ ) k

Deixe o quadro Axyz rodar com velocidade angular Ω

Ω = ϕ ˙ K = ϕ ˙ c o s ⁡ β j + ϕ ˙ s i n ⁡ β k

Taxa de variação de H A

H ˙ A = Ω × H A = i j k 0 ϕ ˙ s i n ⁡ β ϕ ˙ c o s ⁡ β 0 I ' ϕ ˙ s i n ⁡ β I ( ϕ ˙ c o s ⁡ β - ψ ˙ ) = - I ' - I ϕ ˙ 2 c o s ⁡ β s i n ⁡ β + I ϕ ˙ ψ ˙ s i n ⁡ β i

Passo 3

Momento sobre A

M A = - m g c s i n ⁡ β i M A = H ˙ A   l e v a   a  

g c = I ' - I m ϕ ˙ 2 c o s ⁡ β + I m ϕ ˙ ψ ˙ = 3 5 h 2 - 1 4 r 2 ϕ 2 c o s ⁡ β + 3 10 r 2 ϕ ˙ ψ ˙

20 g c = 12 h 2 - 3 r 2 ϕ ˙ 2 c o s ⁡ β + 6 r 2 ϕ ˙ ψ ˙

  1. 12 h 2 - 3 r 2 ϕ ˙ 2 c o s ⁡ β + 6 r 2 ψ ˙ ϕ ˙ - 20 g c = 0

Passo 4

Dados

ψ ˙ = 3000 r p m = 314.16 r a d / s β = 60 ∘

( 12 ) ( 0.75 ) 2 - ( 3 ) ( 0.25 ) 2 cos ⁡ 60 ∘ ϕ ˙ 2 + ( 6 ) ( 0.25 ) 2 ( 314.16 ) ϕ - ( 20 ) ( 32.2 ) ( 0.5625 ) = 0

3.28125 ϕ ˙ 2 + 117.81 ϕ ˙ - 362.25 = 0

Resolvendo a equação quadrática  ,  ϕ ˙ = 2.8488 r a d / s , - 38.753 r a d / s

ϕ ˙ = 27.2 r p m , - 370 r p m

Resposta

ϕ ˙ = 27.2 r p m , - 370 r p m

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