O conjunto mostrado é formado por uma haste uniforme. Para qual valor do comprimento l o centro de massa estará localizado a uma altura de 3 r 4 acima da superfície de suporte?

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o comprimento l da haste, necessário para que o centro de massa da estrutura esteja localizado a uma altura Y - = 3 r 4 .

Então bora resolver! Para determinar a coordenada Y - do centro de massa do conjunto que forma haste, temos:

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = 3 r 4

Ou seja, precisamos definir as massas dos dois elementos que definem o conjunto: as duas hastes retas m 1 e as duas hastes semicirculares m 2 . Como a estrutura é uniforme, vamos considerar uma densidade de massa ρ para o conjunto, lembrando que as hastes são lineares. Logo, para m 1 temos:

m 1 = ρ l

E para m 2 :

m 2 = 2 π r 2 ρ = π r ρ

Passo 2

Tranquilo né? Além das massas, precisamos das posições dos centroides dos três objetos em relação ao eixo y , que podemos obter com ajuda da Tabela D/4 de propriedades de figuras sólidas homogêneas. Sendo assim, para as hastes m 1 :

y - 1 = r

Uma vez que as hastes retas estão a uma altura y = r . Já para as hastes semicirculares m 2 :

y - 2 = r - 2 r π

Pois as semicircunferências estão invertidas.

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades das hastes separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = 2 * m 1 y - 1 + 2 * m 2 y - 2 2 * m 1 + 2 * m 2

Y - = 2 * ρ l * r + 2 * π r ρ * r - 2 r π 2 * ρ l + 2 * π r ρ

3 r 4 = l r + π r 2 - 2 r 2 l + π r

3 r * l + π r = 4 l r + π r 2 - 2 r 2

4 r l - 3 l r = 3 π r 2 - 4 π r 2 + 8 r 2

l r = 8 r 2 - π r 2

l = r 2 8 - π r

l = r 8 - π

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

l = r 8 - π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados