Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 12

Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da área sombreada.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

x - = ∫ x c d A A

y - = ∫ y c d A A

Passo 2

Vamos começar então definindo a área da porção sombreada da figura, para isso vamos subtrair da área do quarto de círculo de raio a , a área do triângulo de base a 2 e altura a , ou seja:

A = π a 2 4 - 1 2 a 2 a

A = π a 2 4 - a 2 4

A = a 2 π - 1 4

Além disso, precisamos da equação que define essa área. Seguindo o mesmo raciocínio, vamos subtrair da equação do quarto de círculo externo ( x 1 ), a equação da reta interna ( x 2 ). Para o quarto de círculo x 1 , temos:

x 1 2 + y 2 = a 2

x 1 = a 2 - y 2

E para a reta que passa pelos pontos ( 0 , a ) e ( a 2 , 0 ) , que chamamos de x 2 :

x 2 = - y 2 + a 2

Logo:

x = x 1 - x 2

Passo 3

Show de bola! Feito isso, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = x d y

d A = x 1 - x 2 d y

Vamos começar pela coordenada x - do centroide. Para isso, temos que:

x c = x 1 + x 2 2

Substituindo todos os termos na equação de x - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

x - = ∫ x c d A A

x - * A = ∫ 0 a x 1 + x 2 2 x 1 - x 2 d y

x - * A = 1 2 ∫ 0 a x 1 2 - x 2 2 d y

x - * A = 1 2 ∫ 0 a a 2 - y 2 2 - - y 2 + a 2 2 d y

x - * A = 1 2 ∫ 0 a a 2 - y 2 - y 2 4 + a y 2 - a 2 4 d y

x - * A = 1 2 ∫ 0 a 3 a 2 4 - 5 y 2 4 + a y 2 d y

x - * A = 1 2 3 a 2 y 4 - 5 y 3 12 + a y 2 4 0 a

x - * A = 1 2 9 a 3 12 - 5 a 3 12 + 3 a 3 12

x - = 4 a 2 π - 1 * 1 2 * 7 a 3 12

x - = 7 6 ( π - 1 )

Passo 4

Ainda tem coisa pra fazer?

Olhando esse tanto de conta parece coisa de outro mundo, mas no final prometo que vai dar tudo certo. Bora continuar! Agora vamos analisar a coordenada y - do centroide. Onde:

y c = y

Substituindo todos os termos na equação de y - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

y - = ∫ y c d A A

y - * A = ∫ 0 a y x 1 - x 2 d y

y - * A = ∫ 0 a y a 2 - y 2 + y 2 - a 2 d y

y - * A = ∫ 0 a y a 2 - y 2 + y 2 2 - a y 2 d y

y - * A = 1 3 a 2 - y 2 3 + y 3 6 - a y 2 4 0 a

y - * A = a 3 6 - a 3 4 + a 3 3

y - * A = 2 a 3 - 3 a 3 + 4 a 3 12

y - = 4 a 2 π - 1 * 3 a 3 12

y - = a ( π - 1 )

É isso, galera. Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 7 6 ( π - 1 )

y - = a ( π - 1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Localize o centro de massa da casca esférica fina, que é formada cortando-se um oitavo de uma casca esférica completa.
Ache o ângulo θ que colocará o centro de massa do anel fino a uma distância r / 10 do centro do arco.
Localize o centroide x - da área sombreada.
Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide ( x - , y - ) da área.