31. A adição de amortecimento a um sistema massa-mola não amortecido provoca um aumento de 25 % em seu período. Determine o fator de amortecimento ξ .

Passo 1

Bom a questão diz que o período τ d do sistema amortecido é 1,25   vezes maior que o período natural do sistema τ :

τ d = 1,25 τ

A fórmula do período natural do nosso sistema, a gente já sabe que é igual à:

τ = 2 π ω n

Mas e a fórmula do período τ d do sistema amortecido? Bom! Ele tem quase a mesma cara. Só que a frequência angular vai ser diferente devido ao amortecimento:

τ d = 2 π ω n 1 - ξ 2

Passo 2

Como τ d = 1,25 τ , vamos então igualaR os dois períodos nessa relação com as fórmulas que conseguimos obter no P a s s o   1 :

2 π ω n 1 - ξ 2 = 1,25 ⋅ 2 π ω n

1 ω n 1 - ξ 2 = 1,25 ω n

ω n = 1,25 ω n ⋅ 1 - ξ 2

( ω n ) 2 = 1,25 ω n ⋅ 1 - ξ 2 2

ω n 2 = 1,5625 ω n 2 ( 1 - ξ 2 )

0,5625 ω n 2 = 1,5625 ξ 2 ω n 2

1,5625 ξ 2 = 0,5625

ξ 2 = 0,36

ξ = 0,36

ξ = 0,6

Resposta

ξ = 0,6

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