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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 69

O corpo é construído com uma haste esguia e uniforme que possui massa ρ por unidade de comprimento. Determine as magnitudes das reações de força e momento no suporte embutido O .

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar os módulos das reações de força e momento no engaste em O . Vamos começar então fazendo o diagrama de corpo livre do nosso problema.

Observe que, por se tratar de um engaste, deveríamos ter representado três reações de força ( O x , O y e O z ) e três reações de momento ( M x , M y e M z ) no ponto O . Entretanto, todas as forças aplicadas são paralelas ao eixo z , o que indica que teremos reação de força apenas nessa direção e que não haverá momento neste sentido. Além disso, nós dividimos o corpo em três peças ( A A ' , B B ' e O C ) com seus respectivos pesos atuando no meio do comprimento de cada uma. Para simplificar nosso trabalho, vamos começar definindo os pesos das barras e as coordenadas dos pontos D , E e F de aplicação.

D = 3 a 4 - a 2 , 0 , c = a 4 , 0 , c

E = 0 , 2 b 3 - b 2 , c = 0 , b 6 , c

F = 0,0 , c 2

E os pesos:

W A A ' = a ρ g

W B B ' = b ρ g

W O C = c ρ g

Passo 2

Então bora começar nossos cálculos! Este é um problema que pode ser facilmente resolvido utilizando as equações de equilíbrio de forças na direção z e de momento nas direções x e y , é exatamente isso que vamos fazer!

∑ F z = 0

O z - W A A ' - W B B ' - W O C = 0

O z = a ρ g + b ρ g + c ρ g

∴ O = O z = ρ g ( a + b + c )

Assim nós já temos a reação de força no engaste. Muito fácil né?

Passo 3

Para os momentos em torno de O , basta multiplicarmos os pesos pelas suas distâncias até este ponto, dadas pelas coordenadas dos pontos D , E e F de aplicação.

∑ M x = 0

M x - W B B ' * b 6 = 0

M x = b ρ g * b 6

M x = b 2 ρ g 6

∑ M y = 0

M y + W A A ' * a 4 = 0

M y = - a ρ g * a 4

M y = - a 2 ρ g 4

E, finalmente, o módulo da reação de momento em O :

M = M x 2 + M y 2 + M z 2

M = b 2 ρ g 6 2 + - a 2 ρ g 4 2 + 0 2

M = ρ 2 g 2 4 a 4 4 + b 4 9

M = ρ g 2 a 4 4 + b 4 9

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

O = ρ g ( a + b + c )

M = ρ g 2 a 4 4 + b 4 9

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