Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.9 - Ex. 213
Que velocidade angular inicial no sentido horário a barra esbelta e uniforme de deve ter quando passa sobre a posição vertical para que consiga atingir a posição horizontal ? A mola tem uma rigidez e está sem deformação quando .
Passo 1
Uma barra está presa a um pino em uma de suas extremidades e presa a uma mola na outra.
Quando a barra está na vertical, a mola está sem deformação.
Quando a barra começa a girar ao redor do pino, a mola é deformada, então ela resiste o movimento da barra!
Queremos saber qual é a velocidade inicial que a barra deve ter quando está na vertical para ser capaz de girar o suficiente até ficar horizontal.
Dados da questão (tem valores errados no enunciado!):
- Massa da barra:.
- Comprimento da barra: .
- Altura da base da mola: .
- Rigidez da mola:
- Aceleração da gravidade: . (Tabelado)
Essa questão é tranquila! Como a força peso e a força elástica são conservativas, podemos usar a conservação da energia para compararmos duas situações: quando a barra está vertical e quando a barra está horizontal!
Passo 2
Temos três energias na jogada.
Energia potencial elástica, com deflexão :
Energia potencial gravitacional, para uma altura do centro de massa em relação à horizontal:
Energia cinética da rotação, com velocidade ao redor do pino em :
Quando a barra está na vertical:
- A mola está sem deformação! Então a deflexão aqui é . Importante: o comprimento relaxado da mola é então .
- A altura do centro de massa vai ser , na metade da barra
- A velocidade angular inicial vai ser a incógnita que queremos achar!
Quando a barra está na horizontal:
- A mola vai estar esticada, fechando um triângulo! A deflexão vai ser a hipotenusa menos o comprimento relaxado . Então .
- A altura vai ser (estamos usando a horizontal como referência!)
- A velocidade angular vai ser ! Colocando desse jeito, vamos descobrir a velocidade inicial mínima para a barra poder girar da vertical até horizontal.
Show! Agora vamos usar a conservação da energia.
Passo 3
Conservação da energia:
Substitua tudo que descobrimos no último passo, e lembre-se que o momento de inércia para a barra segundo um eixo na extremidade é .
Resposta
Velocidade angular:.