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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.7 - Ex. 180

A corrente de comprimento L é liberada a partir do repouso sobre o plano inclinado liso com x = 0 . Determine a velocidade v dos elos em termos de x .

Passo 1

Vamos pensar na energia mecânica da corrente conforme ela desce o plano. Se ela parte do repouso e adquire uma velocidade v , a variação da sua energia cinética é:

Δ T = 1 2 ρ L v 2

Onde ρ é a densidade linear da corrente e L é o seu comprimento.

Mas e a energia potencial gravitacional? Bom, vamos pensar em um trecho de corrente com comprimento x . O essencial aqui é pensar no centro de massa desse trecho, que está na metade desse comprimento x .

Vamos desenhar o efeito do deslocamento do centro de massa desse pedaço na corrente:

Mas o que importa para a energia potencial gravitacional é o deslocamento no eixo vertical:

Δ h = L - x sen ⁡ θ + x 2 sen ⁡ θ + x 2

E então a variação de energia potencial é:

Δ U = - ρ g x L - x sen ⁡ θ + x 2 sen ⁡ θ + x 2

Passo 2

Agora pela conservação de energia:

Δ T + Δ U = 0

1 2 ρ L v 2 - ρ g x L - x sen ⁡ θ + x 2 sen ⁡ θ + x 2 = 0

v 2 = 2 g x L L - x sen ⁡ θ + x 2 sen ⁡ θ + x 2

v 2 = 2 g x sen ⁡ θ - x L sen ⁡ θ + x 2 L sen ⁡ θ + x 2 L

v 2 = 2 g x sen ⁡ θ + x 2 L 1 - sen ⁡ θ

E então a velocidade é:

v = 2 g x sen ⁡ θ + x 2 L 1 - sen ⁡ θ

Resposta

A velocidade dos elos é v = 2 g x sen ⁡ θ + x 2 L 1 - sen ⁡ θ .

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