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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.8 - Ex. 210

Para o cursor e a manivela do Prob. 5/209 desenvolva a expressão para a aceleração a A do pistão (admitida positiva para a direita) como uma função de θ para ω = θ ˙ = c o n s t a n t e . Substitua os dados numéricos do exemplo 5/15 e calcule a A como uma função de θ para 0 ≤ θ ≤ 180 ° . Represente graficamente a A contra θ e encontre o valor de θ para o qual a A = 0 .

Passo 1

Bom pessoal, o que devemos fazer aqui é simplesmente derivar a expressão encontrada no exercício anterior para v A . Vamos cair numa derivada meio chata de resolver, com muita regra da cadeia e identidades trigonométricas. Bom, eu recomendo usar algum software para o calculo desta derivada, já que nesta seção é permitido o uso de programas.

d d t → v A = r ω s e n θ   1 + c o s θ l r 2 - s e n 2 θ

d v A d t = a A = d r ω s e n θ + r ω s e n θ c o s θ l / r 2 - s e n 2 θ d t

d v A d t = a A = r ω d s e n θ + 1 2 s e n 2 θ l / r 2 - s e n 2 θ d t

a A = r ω 2 c o s θ + r ω ω c o s 2 θ l r 2 - s e n 2 θ   - 1 2 s e n 2 θ - 1 2 s e n 2 θ ω l r 2 - s e n 2 θ l r 2 - s e n 2 θ  

a A =   r ω 2 c o s θ + r l 1 - 2 s e n 2 θ + r 2 l 2 s e n 4 θ 1 - r 2 l 2 s e n 2 θ 3 / 2

Passo 2

Agora o exercício pede para usar os dados do Exemplo 5/15. Vamos a eles:

r = 125 m m

l = 350 m m

ω = 1500 2 π 60 = 157,1   r a d / s

Substituindo os valores na equação:

a A = 3 . 085 c o s θ + 0,357 1 - 2 s e n 2 θ + 0,1275 s e n 4 θ 1 - 0,1275 s e n 2 θ 3 2

Agora vamos plotar o gráfico (em radianos) da expressão acima para o intervalo 0 ≤ θ ≤ π :

Portanto, para a aceleração igual a zero temos:

θ = 1,261   r a d = 72,2 °

Para o intervalo 180 ≤ θ ≤ 360 ° :

θ = 5,022   r a d = 287,74 °

Resposta

θ = 1,261   r a d = 72,2 °

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