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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 72

O cursor C pesa 230 g e pode mover-se na fenda aberta no braço AB, que gira a uma taxa constante 0,10 rad /s no plano horizontal. O cursor é preso a uma mola de constante k= 36 N/m, que não está deformada quando r0. Sabendo que o cursor é liberado em repouso com velocidade radial nula na posição r= 450 mm, e desprezando o atrito, determine para a posição r= 300 mm (a) as componentes radial e transversal da velocidade do cursor, (b) as componentes radial e transversal de sua aceleração, (c) a força horizontal exercida no cursor pelo braço AB.

Passo 1

Seja Lo a coordenada radial quando a mola não está alongada. A Força exercida pela mola é de:

F r =   - k r - l o

∑ F r = m . a r :   - k r - l o = m   ( r - r θ 2 ) ¨

r ¨ = ( θ 2 ¨ -   k m ) r + k l 0 m

r ¨ =   d d t r ˙ = d r ˙ d r   d r d t = r ˙ d r ˙ d r

r d r = r d r =   ( θ 2 - k m ) r + k l 0 m d r

Passo 2

Agora galera temos que integrar usando a condição r ˙ =   r 0 ˙ quando r = r 0

1 2 r ˙ 2 | r ˙ 0 r ˙ = 1 2 θ ˙ 2 - k m r 2 + k l 0 m r | r 0 r

1 2 r ˙ 2 - 1 2 r ˙ 0 2 = 1 2 θ ˙ 2 - k m r 2 - r 0 2 + k l 0 m r - r 0

r ˙ 2 = r ˙ 0 2 + θ ˙ 2 - k m r 2 - r 0 2 + 2 k l 0 m r - r 0

Passo 3

Dados:

m = P g = 236   g 9,8   m / s ² = 3,6   K g / s ² m

θ = 10 r a d s ,     k = k =   36   N / m ,     l 0 = 0

r ˙ = ( v r ) 0 = 0 ,   r 0 = 0,3   m m . ,   r = 0,45   m m .  

Componentes da velocidade quando r= 0,3 mm :

r ˙ 2 = 0 + 10 2 - 2.5 0.01553 1.0 2 - 1.5 2 + 0 = 0,09290304   m ²   /   s ²

v r = r ˙ =   ± 9,57   K m / h

Passo 4

Uma vez que r está diminuindo v, é negativo

r ˙ =   - 8.7306 f t s v r = - 8.73 f t s

v 0 = r 0 = ( 1.0 ) ( 10 ) v 0 = 10.00   f t / s

  1. Componentes da aceleração

    2. F r = - k r + k l 0

    a r =   F r m =   49,7   m / s ²

  2. Componente transversal da força

F 0 =   m a 0 = ( 0.01553 ) ( - 174.6 ) F 0 =   - 2.71   l b

r ˙ 2 = 0 + 10 2 - 2.5 0.01553 1.0 2 - 1.5 2 + 0 = 70,125   m / s ²

v r = r ˙ =   ± 9,57   K m / h

Uma vez que r está diminuindo v, é negativo

r ˙ =   - 8.7306 f t s v r = - 8.73 f t s

v 0 = r 0 = ( 1.0 ) ( 10 ) v 0 = 10.00   f t / s

Passo 5

Componentes da aceleração

F r = - k r + k l 0 = - ( 2.5 ) ( 1.0 ) + 0 ≈ - 2.5 l b

a r =   F r m = 49.0728   m   /   s  

a 0 = r 0 ¨ + 2 r ˙ 0 ˙ = 0 + ( 2 ) ( - 8.7306 ) ( 10 )

Componente transversal da força

F 0 =   m a 0 = 1,22   K N

Resposta

  1. 49,7 m s 2
  2. ± 9,57 K m h
  3. 1,22   K N
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