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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 140b

As deformações abaixo foram determinadas na superfície da base de uma máquina de ferro fundido. Sabendo-se que E = 70 G P a e G = 28 G P a , determinar os planos principais e as tensões principais: (a) pela determinação do correspondente estado plano de tensões. (Usar Eq. (2.36); Eq(2.43); e as duas primeiras equações do Prob. 2.76); e então, usar o círculo de Mohr para tensões; (b) Usando o círculo das deformações principais; e então, determinar as correspondentes tensões.

ε x = + 210 × 10 - 6   m m / m m

ε y = + 50 × 10 - 6   m m / m m

γ x y = - 300 × 10 - 6   m m / m m

Passo 1

Para resolver este problema nós primeiro temos de calcular o coeficiente de Poisson ν pela equação. Depois a gente vai aplicar a equação da tensão normal de modo a desenhar o ciclo de Mohr como pedido.

Por fim iremos fazer o ciclo de mohr para as deformações.

Passo 2

Para achar o coeficiente de Poisson a gente vai utilizar a equação:

G = E 2 ⋅ ( ν + 1 )

Dessa forma:

ν = E 2 G - 1

ν = 70 2 ⋅ 28 - 1

ν = 0,25

Passo 3

Vamos fazer então o ciclo de Mohr para deformações. Para isso a gente tem que lembrar como calcula a deformação específica normal média e o raio:

ε m é d = ε x + ε y 2

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

Perceba que é muito parecido com o ciclo de Mohr com as tensões mas aqui utilizamos:

  • ε que é a deformação específica normal.
  • γ que é a deformação angular.

utilizando os cálculos do passo 1:

ε m é d = ε x + ε y 2

ε m é d = + 210 × 10 - 6 + 50 × 10 - 6 )   2 = 130 × 10 - 6   m m / m m

E

R = 210 × 10 - 6 - 50 × 10 - 6 )   2 2 + - 300 × 10 - 6 2 2

R = 28900 × 10 - 12

R = 170 × 10 - 6   m m / m m

Agora podemos desenhar o ciclo de Mohr:

Passo 4

Para calcular a intensidade dessas deformações específicas normais principais temos que calcular ε m á x e ε m í n . Como já temos a média o o raio fica fácil:

ε a = ε m á x = ε m é d + R

ε a = ε m á x = 130 × 10 - 6   + 170 × 10 - 6 = 300 × 10 - 6   m m / m m

ε b = ε m í n = ε m é d - R

ε b = ε m í n = 130 × 10 - 6 - 170 × 10 - 6 = - 40 × 10 - 6   m m / m m

Passo 5

Agora podemos achar o ângulo por meio da geometria do círculo de Mohr:

t g 2 θ p = γ ε x - ε y

t g 2 θ p = - 300 210 - 50

t g 2 θ p = - 1,875

2 θ p = a r t c g - 1,875 = 62 °

θ p = 31 °

Para achar o outro plano basta adicionar 90°

θ 2 = 121 °

Passo 6

Por fim para a gente achar as tensões devemos substituir na equação que relaciona tensão com deformação (lembrando que a gente calculou ν la no começo):

σ a = E 1 - ν 2 ⋅ ( ε a + ν ⋅ ε b )

σ a = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( 300 × 10 - 6 + 0,25 ⋅ - 40 × 10 - 6 )

σ a = 74,67 × 10 9 ⋅ ( 290 × 10 - 6 )

σ a = 21,65   M P a

Para σ b

σ b = E 1 - ν 2 ⋅ ( ν ⋅ ε a + ε b )

σ b = 70 × 10 9 1 - 0,25 2 ⋅ ( 0,25 ⋅ 300 × 10 - 6 + - 40 × 10 - 6 )

σ b = 74,67 × 10 9 ⋅ ( 35 × 10 - 6 )

σ b = 2,61   M P a

Como trata-se de um estado plano de tensões temos que σ c = 0

Resposta

b)

θ p = 31 °

θ 2 = 121 °

σ a = 21,65   M P a

σ b = 2,61   M P a

σ c = 0

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