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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 34

Se a densidade em qualquer ponto na placa retangular é definida por ρ = ρ 0 1 + x a , onde ρ 0 é uma constante, determine a massa e localize o centro de massa x - da placa. A placa tem uma espessura t .

Passo 1

Vamos pensar na massinha de cada filete da placa, paralelos ao eixo y .

A massa desse elemento é:

d m = ρ d V

O volume desse pedacinho vai ser o produto da espessura, pela altura e largura, nessa ordem aí na fórmula:

d V = t b d x

Então vai ficar:

d m = ρ t b d x

d m = ρ 0 1 + x a t b d x

Passo 2

Beleza! Agora vamos ver a massa total, que vai ser a soma de todas as massinhas:

m = ∫ d m

m = ∫ 0 a ρ 0 t b 1 + x a d x

m = ρ 0 t b ∫ 0 a 1 + x a d x

Integrando, vai ficar:

m = ρ 0 t b x + x 2 2 a 0 a

Substituindo os valores:

m = ρ 0 t b a + a 2 2 a

m = 3 ρ 0 t b a 2

Passo 3

Achar o centro de massa de massa é moleza! Como a placa é simétrica no eixo horizontal dela, o centro de massa só pode estar nesse eixo! E aí ele vai estar localizado em:

x - = ∫ x -   d m ∫ d m

x - = ∫ 0 a x ρ 0 t b 1 + x a d x ∫ d m

A integral de d m do denominador a gente já achou no passo 2! Substituindo:

x - = ρ 0 t b ∫ 0 a x + x 2 a d x 3 2 ρ 0 a b t

x - = ρ 0 t b x 2 2 + x 3 3 a 0 a 3 2 ρ 0 a b t

x - = a 2 2 + a 2 3 3 2 a

x - = 5 a 9

Resposta

m = 3 ρ 0 t b a 2

x - = 5 a 9

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