Desenvolva a equação diferencial para pequenas oscilações do pêndulo sob a ação das molas e determine o período τ . A posição de equilíbrio é vertical como indicada. A massa da haste é desprezível.

A equação é θ ¨ + 2 k b 2 m l 2 + g l θ = 0 e o período é τ = 2 π 2 k b 2 m l 2 + g l .

Enunciado

Vamos criar uma equação diferencial que dependa do ângulo da oscilação do pêndulo.

A melhor forma de fazer isso é escrevendo uma equação de momentos em torno do ponto :

Onde é a aceleração ângular associada ao ângulo , e é o momento de inércia do pêndulo simples:

Vamos fazer um diagrama de um instante em que o pêndulo está deslocado por um pequeno ângulo :

Nesse caso estamos considerando que as molas permanecem na horizontal, o que é uma aproximação razoável para ângulos pequenos.

Para escrever os módulos das forças e , precisamos encontrar uma expressão para a distorção das molas:

E as duas forças sempre apontam na mesma direção, e tem o mesmo módulo, já que a distorção das duas molas é sempre igual.

Olhando para o desenho do enunciado, vemos que as molas estão presas no cabo a uma distância do ponto , então:

Agora podemos completar nossa equação de momentos:

E o sinal negativo aparece porque esses momentos agem no sentido que diminui .

Para ângulos pequenos, podemos substituir e , então:

Dividindo tudo por , ficamos com a seguinte equação:

Para encontrar o período a partir dessa equação, temos que nos lembrar da forma geral de uma equação de oscilador harmônico:

Onde é a frequência angular. Comparando com a nossa equação do passo anterior, vemos que:

E a relação entre e o período é a seguinte:

Então:

A equação é e o período é .