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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 50

Determine o centroide dda área mostrada na figura quando a = 50   m m .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide da figura. Para isso, vamos integrar a função   y no intervalo que ele nos deu. Logo:

x ¯ = ∫ a b x d A ∫ d A ;   y ¯ = ∫ a b y d A ∫ d A    

Primeiro, devemos determinar os termos x e y Para isso, devemos imaginar um retângulo de base infinitesival d x e altura y dentro da nossa função. Sendo assim, ficamos com:

x = x

y = y 2

Por último, vamos encontrar o termo d A , que é a área do nosso retângulo, ele é dado por:

d A = y . d x

Passo 2

Agora basta integrar no intervalo da função:

x ¯ = ∫ a b x d A ∫ d A

x ¯ = ∫ 25 50 x y   d x ∫ 25 50 y d x

x ¯ = ∫ 25 50 x 1 x   d x ∫ 25 50 1 x d x

x ¯ = ∫ 25 50 1   d x ∫ 25 50 1 x   d x

Integrando, ficamos com:

x ¯ = x ​ 25 50 ln ⁡ x ​ 25 50

x ¯ = 25 ln ⁡ 2 = 36.067   m m

Para y ¯ , basta repertimos o processo:

y ¯ = ∫ a b x d A ∫ d A

y ¯ = ∫ 25 50 y 2   d x ln ⁡ 2

y ¯ = 1 2 ∫ 25 50 1 x   d x ln ⁡ 2

y ¯ = 1 2 ln ⁡ 2 ln ⁡ 2

y ¯ = 0,5   m m

Resposta

x - = 36.067   m m

y ¯ = 0,5   m m

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