Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 40
Determine a coordenada z do centro de massa da casca esférica homogênea de raio r correspondente a um quarto de uma esfera.
Passo 1
Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:
Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.
Passo 2
Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:
Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação ao ângulo e temos a nossa área. Note que, se olharmos na parte de baixo observamos que o comprimento dela é metade do comprimento de uma circunferência. Portanto:
Como eu estamos variando-a em relação a r e ao ângulo teremos:
Observe que:
Logo,
Atente para o limite de integração, como é um quarto da esfera, o ângulo varia de 0 a .
Passo 3
Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:
Agora basta resolvermos essa integral que teremos a área, sendo assim:
Passo 4
Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:
Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Portanto:
Como,
Temos,
Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir: