Determine a coordenada z do centro de massa da casca esférica homogênea de raio r correspondente a um quarto de uma esfera.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d A A  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar a área do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação ao ângulo e temos a nossa área. Note que, se olharmos na parte de baixo observamos que o comprimento dela é metade do comprimento de uma circunferência. Portanto:

L = 2 π y 2 = π y

Como eu estamos variando-a em relação a r e ao ângulo teremos:

d A = π y   r d θ

Observe que:

cos ⁡ θ = y r

y = r c o s   θ

Logo,

A = ∫ d A = ∫ π y   r d θ

Atente para o limite de integração, como é um quarto da esfera, o ângulo varia de 0 a π / 2 .

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

d A = π r 2 cos ⁡ θ   d θ

A = π r 2 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ d θ  

Agora basta resolvermos essa integral que teremos a área, sendo assim:

A = π r 2 s i n θ π / 2 0   = π r 2

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:

∫ z c d A

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Portanto:

∫ z c d A = ∫ z d A

Como,

sin ⁡ θ = z r

z = r s i n θ

Temos,

∫ z d A = ∫ 0 π 2 r s i n θ   π r 2 c o s θ   d θ    

∫ z d A = π r 3 ∫ 0 π 2 sin ⁡ 2 θ 2 d θ = π r 3 2

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

z - = ∫ z c d A A = π r 3 2 π r 2 = r 2  

Resposta

  z - = r 2

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