Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 7

7- Determine a coordenada y do centroide da área sob a curva senoidal mostrada.

Passo 1

Utilizando linhas verticais para determinar a área da região nós teremos:

Onde essa linha tem altura igual a y e largura igual a d x , de forma que sua área fica:

A = ∫ y   d x = ∫ a s e n π x b d x

De forma que x varia de 0 até b .

∫ 0 b a s e n π x b d x

Aplicando a substituição u = π x b , temos:

d u = π b d x

d x = b π d u

Dessa forma o intervalo em relação a u fica:

Para x = 0 :

u = π b × 0 = 0

Para x = b :

u = π b × b = π

O que deixa nossa integral como:

A = b π ∫ 0 π a s e n   u d u = a b π [ - cos ⁡ u ]   0 π = a b π [ - cos ⁡ π + cos ⁡ 0 ] = a b π 1 + 1        

A = 2 a b π

Passo 2

Agora para encontrar y - temos que fazer:

y - = ∫ y c   d A A

Onde o ponto de centro y c é a metade do comprimento da nossa linha vertical, que é dada por:

y c = 0 + a   s e n π x b 2

Que é a média aritmética das funções em que essa linha se encontra:

O que deixa nossa integral como:

∫ y c   d A = ∫ a 2   s e n π x b   a   s e n π x b d x

Onde x varia de 0 a b . O que deixa nossa integral como:

∫ 0 b a 2 2   s e n 2 π x b d x

Porém para integral a função s e n 2 precisamos alterar-la da seguinte forma:

s e n 2 x + cos 2 ⁡ = 1

cos 2 ⁡ x - s e n 2 x = cos ⁡ 2 x

Invertendo o sinal dessa segunda equação temos:

s e n 2 x - cos 2 ⁡ x = - cos ⁡ 2 x

Agora somando essa equação com a primeira temos:

2 s e n 2 x = 1 - cos ⁡ 2 x

s e n 2 x = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x

Agora substituindo esse resultado na integral teremos:

a 2 2 ∫ 0 b 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 π x b d x

Passo 3

Para essa equação se aplicarmos a seguinte substituição:

u = 2 π x b  

d u = 2 π b   d x

d x = b 2 π   d u

E nossa substituição muda para:

Para x = 0 :

u = 2 π b × 0 = 0

E para x = b :

u = 2 π b × b = 2 π

Logo nossa integral fica:

a 2 2 b 2 π ∫ 0 2 π ( 1 2 - 1 2 cos ⁡ u )   d u  

a 2 b 4 π   1 2 u - 1 2 sin ⁡ u 0 2 π = a 2 b 4 π π - 1 2 sin ⁡ 2 π - 0 + 1 2 sin ⁡ 0 = a 2 b 4 π π = a 2 b 4

Agora finalmente calculando y - temos:

y - = a 2 b 4 2 a b π = π a 8

Resposta

y - = π a 8

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a coordenada x do centro de massa do hemisfério homogêneo, que teve removida a região hemisférica menor.
Determine a coordenada y do centroide da área plana mostrada. Coloque h = 0 em seu resultado e compare-o com o resultado y - = 4 α 3 π para área semicircular (veja o Exemplo 5/3 e a Tabela D/3). Avali
Determine a coordenada x do centro de massa do corpo sólido homogêneo mostrado.
Determine a coordenada z do centro de massa da casca esférica homogênea de raio r correspondente a um quarto de uma esfera.
Determine a coordenada z do centroide do volume obtido pela revolução da área triangular sombreada de 360° em torno do eixo z.