Determine a coordenada z do centroide do volume gerado pela revolução de 180° da área sombreada em torno do eixo .

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a z e temos a nossa área. Como também, note que se olharmos lateralmente vemos um semiciclo, com profundidade z. De modo que, sabermos a área de um semiciclo:

Como o raio está na direção x, temos:

Assim sendo se multiplicarmos pela profundidade, que é o eixo z, teremos o volume. Dessa maneira o volume é dado por:

Logo,

Agora precisamos deixar em função de z para podermos integrar, o problema já nos informa a função que representa a curva que é parabólica, dessa maneira é só substituir os pontos que temos a nossa função, logo:

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o volume é dado por:

Agora basta resolvermos essa integral que teremos nosso volume, sendo que:

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Como o e Temos:

Logo,

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais ou na parte que obtém as equações das funções parabólicas recomendo que revise o assunto de substituição em cálculo e introdução a funções que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir: