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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 11

Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da área sombreada da figura.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

x - = ∫ x c d A A

y - = ∫ y c d A A

Passo 2

Show de bola! Para determinar as variáveis das equações, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = y d x

d A = b sen ⁡ π x 2 a d x

E a área total sombreada é:

A = ∫ d A = ∫ y d x

A = ∫ 0 a b sen ⁡ π x 2 a d x

A = - 2 a b π cos ⁡ π x 2 a 0 a

A = - 2 a b π cos ⁡ π 2 - cos ⁡ ( 0 )

A = 2 a b π

Passo 3

Vamos começar pela coordenada x - do centroide. Para isso, temos que:

x c = x

Substituindo todos os valores na equação da coordenada x - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

x - = ∫ x c d A A

x - * A = ∫ 0 a x b sen ⁡ π x 2 a d x

x - * A = b 2 a π 2 sen ⁡ π x 2 a - π x 2 a cos ⁡ π x 2 a 0 a

x - * A = 4 a 2 b π 2

x - = π 2 a b 4 a 2 b π 2

x - = 2 a π

Passo 4

Tranquilo né? Agora vamos analisar a coordenada y - do centroide. Onde:

y c = y 2 = 1 2 b sen ⁡ π x 2 a

Substituindo todos os valores na equação da coordenada y - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

y - = ∫ y c d A A

y - * A = ∫ 0 a 1 2 b sen ⁡ π x 2 a * b sen ⁡ π x 2 a d x

y - * A = b 2 2 ∫ 0 a sen 2 ⁡ π x 2 a d x

y - * A = a b 2 π π x 4 a - 1 4 sen ⁡ π x 2 a 0 a

y - * A = a b 2 4

y - = π 2 a b a b 2 4

y - = π b 8

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 2 a π

y - = π b 8

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