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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 13

Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da área sombreada da figura.

Onde a constante k pode ser encontrada a partir do ponto ( b , a ) :

b = k a 2

k = b a 2

∴ x = b a 2 y 2

y = x a 2 b

y = a * x b

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

x - = ∫ x c d A A

y - = ∫ y c d A A

Passo 2

Show de bola! Para determinar as variáveis das equações, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = y d x

d A = a * x b d x

E a área total sombreada é:

A = ∫ d A = ∫ y d x

A = ∫ 0 b a * x b d x

A = a x 3 2 b - x 3 2 3 b 0 b

A = a 3 b 3 2 - b 3 2 3 b

A = 2 a b 3

Passo 3

Vamos começar pela coordenada x - do centroide. Para isso, temos que:

x c = x

Substituindo todos os valores na equação da coordenada x - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , b ) , temos:

x - = ∫ x c d A A

x - * A = ∫ 0 b x * a * x b d x

x - * A = ∫ 0 b a x 3 2 b d x

x - * A = 2 5 a b x 5 2 0 b

x - * A = 2 a b 2 5

x - = 3 2 a b 2 a b 2 5

x - = 3 b 5

Passo 4

Tranquilo né? Agora vamos analisar a coordenada y - do centroide. Onde:

y c = y 2 = 1 2 a * x b

Substituindo todos os valores na equação da coordenada y - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , b ) , temos:

y - = ∫ y c d A A

y - * A = ∫ 0 b 1 2 a * x b * a * x b d x

y - * A = ∫ 0 b a 2 x 2 b d x

y - * A = a 2 4 b x 2 0 b

y - * A = a 2 b 4

y - = 3 2 a b a 2 b 4

y - = 3 a 8

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 3 b 5

y - = 3 a 8

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