Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 24

Localize o centróide da área mostrada na figura por integração direta. (Cuidado: observe cuidadosamente o sinal adequado do radical envolvido.)

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da área sombreada por integração direta.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

x - = ∫ x c d A A

y - = ∫ y c d A A

Passo 2

Vamos começar então definindo a área da porção sombreada da figura, para isso observe que a curva que define nossa área é a parte inferior de uma circunferência de raio a deslocada em a para cima no eixo y . Ou seja,

x 2 + y - a 2 = a 2

y = a - a 2 - x 2

Com isso, podemos calcular a área total da parte sombreada, dada por:

A = ∫ d A = ∫ 0 a y d x

A = ∫ 0 a a - a 2 - x 2 d x

A = a x - 1 2 x a 2 - x 2 + a 2 sen - 1 ⁡ x a 0 a

A = a 2 1 - π 4

Passo 3

Show de bola! Feito isso, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Onde a área infinitesimal é dada por:

d A = y d x

d A = a - a 2 - x 2 d x

Vamos começar pela coordenada x - do centroide. Para isso, temos que:

x c = x

Substituindo todos os termos na equação de x - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

x - = ∫ x c d A A

x - * A = ∫ 0 a x y d x

x - * A = ∫ 0 a x a - a 2 - x 2 d x

x - * A = ∫ 0 a x a - x a 2 - x 2 d x

x - * A = a x 2 2 + a 2 - x 2 3 2 3 0 a

x - * A = a 3 2 - a 3 3

x - = a 3 6 * 1 a 2 1 - π 4

x - = a 6 - 6 π 4

x - = 0,777 a

Passo 4

Tá quase acabando viu? Bora continuar! Agora vamos analisar a coordenada y - do centroide. Onde:

y c = y 2

Substituindo todos os termos na equação de y - do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , a ) , temos:

y - = ∫ y c d A A

y - * A = ∫ 0 a y 2 2 d x

y - * A = 1 2 ∫ 0 a a - a 2 - x 2 2 d x

y - * A = 1 2 ∫ 0 a 2 a 2 - x 2 - 2 a a 2 - x 2 d x

y - * A = 1 2 2 a 2 x - x 3 3 - a x 2 a 2 - x 2 + a 2 sen - 1 ⁡ x a 0 a

y - * A = 1 2 2 a 3 - a 3 3 - a a 2 a 2 - a 2 + a 2 sen - 1 ⁡ a a

y - * A = 1 2 5 a 3 3 - a 3 π 2

y - = 1 2 5 a 3 3 - a 3 π 2 * 1 a 2 1 - π 4

y - = 0,223 a

É isso, galera. Partiu pra próxima!

Resposta

x - = 0,777 a

y - = 0,223 a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Localize o centroide x - da barra circular. Expresse a resposta em termos do raio r e do ângulo de semiarco α .
Determine a área e o centroide x - , y - da área.
Determine a área o centroide ( x - ,y - ) da área.
Determine a massa e localize o centro de massa ( x - ,y - ) da barra uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 3 kg/m.
Determine a localização ( x - , y - ) do centroide do fio.