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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 08

Determine as coordenadas x e y do centróide da área trapezoidal.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas x - e y - do centroide da figura trapezoidal.

Então bora resolver! Lembrando que neste caso estamos lidando com uma área e as fórmulas gerais para determinar as coordenadas do centroide de uma área são:

y - = ∫ y c d A A

x - = ∫ x c d A A

Passo 2

Vamos começar pela equação de y - . Precisamos definir y c , d A e A . Para isso, vamos analisar a porção infinitesimal destacada em vermelho:

Assim ficou mais fácil de visualizar né? Então temos:

d A = y d x

Onde y é a equação da reta que passa pelos pontos ( 0 , a ) e ( h , b ) :

y = b - a h x + a

Logo:

d A = b - a h x + a d x

y c , por sua vez, é o centroide da área infinitesimal, simplesmente dado por:

y c = y 2 = 1 2 b - a h x + a

E, finalmente, a área do trapézio inteiro:

A = h ( a - b ) 2

Passo 3

Show, tendo isso, podemos substituir todos esses valores na equação da coordenada y - do centroide do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , h ) .

y - = ∫ 0 h 1 2 b - a h x + a b - a h x + a d x h ( a - b ) 2

y - = 1 h ( a - b ) ∫ 0 h b - a h x + a 2 d x

y - = 1 h ( a - b ) ∫ 0 h b - a h 2 x 2 + 2 b - a h a x + a 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

y - = 1 h ( a - b ) b - a h 2 x 3 3 + 2 b - a h a x 2 2 + a 2 x   0 h

y - = 1 h ( a - b ) b - a h 2 h 3 3 + 2 b - a h a h 2 2 + a 2 h - 0  

y - = 1 h ( a - b ) h b - a 2 3 + b - a a + a 2

y - = 1 3 ( a - b ) b - a 2 + 3 b - a a + 3 a 2

y - = a 2 + a b + b 2 3 ( a + b )

Passo 4

Ainda tem coisa pra fazer?

Olhando esse tanto de conta parece coisa de outro mundo, mas no final prometo que vai dar tudo certo. Bora continuar! Agora para a coordenada x - do centroide, o que muda é apenas x c , pois estamos tratando da mesma área de integração. Aqui temos simplesmente que:

x c = x

Substituindo na equação da coordenada x - do centroide do Passo 1, cujos limites de integração são ( 0 , h ) .

x - = ∫ 0 h x b - a h x + a d x h ( a - b ) 2

x - = 2 h ( a - b ) ∫ 0 h b - a h x 2 + a x d x

Resolvendo a integral, temos:

x - = 2 h a - b b - a h x 3 3 + a x 2 2 0 h

x - = 2 h a - b b - a h h 3 3 + a h 2 2 - ( 0 )

x - = 2 h a - b h 2 b - a 3 + a 2

x - = 2 h a - b 2 b - a + 3 a 6

x - = h a + 2 b 3 a - b

É isso, galera. Partiu pra próxima!

Resposta

x - = h a + 2 b 3 a - b

y - = a 2 + a b + b 2 3 ( a + b )

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