Determine a faixa de massa m sobre a qual o sistema está em equilíbrio (a) se o coeficiente de atrito estático for 0,20 em todos os três eixos fixos e (b) se o coeficiente de atrito estático associado ao eixo B for aumentado para 0,50.

Passo 1

Uma vez que temos três eixos, podemos escrever a expressão para a relação entre as tensões T1 e T2 como

ln ⁡ T 2 T 1 = μ A β A + μ B β B + μ C β C

Podemos ver a partir do desenho que todos os ângulos de contato são os mesmos

β A = β B = β C = π

Portanto, podemos escrever a expressão acima como

ln ⁡ T 2 T 1 = μ A + μ B + μ C π

Podemos escrever a expressão para as tensões T1 e T2

T 1 = T 2 e μ A + μ B + μ C π                     ( 1 )

T 2 = T 1 ∙ e μ A + μ B + μ C π                     ( 2 )

Passo 2

Observe que a tensão T2 é sempre maior que T1 e para aumentar a força do cilindro de 2 kg mg deve ser maior que o peso 2g, portanto

T 2 = m g

T 1 = 2 g

Como a força mg é maior que o peso 2g, colocaremos os valores de T1, T2, na expressão (2) para determinar a força mg necessária para elevar o cilindro

m g = 2 g ∙ e μ A + μ B + μ C π

Podemos dividir os dois lados da equação por g

m = 2 ∙ e μ A + μ B + μ C π

Para diminuir a força do cilindro, mg deve ser menor que 2g de peso, portanto

T 2 = m g

T 1 = 2 g

Como a força mg é menor que o peso 2g, colocaremos os valores de T1, T2 na expressão (1) para determinar a força mg necessária para elevar o cilindro

m g = 2 g e μ A + μ B + μ C π

Passo 3

Podemos dividir os dois lados da equação por g

m = 2 e μ A + μ B + μ C π

Uma vez que escrevemos a expressão para a massa m necessária para diminuir e aumentar o cilindro de 2 kg, podemos dizer que o sistema está em equilíbrio para o intervalo de

2 e μ A + μ B + μ C π < m < 2 ∙ e μ A + μ B + μ C π                     ( 3 )

Passo 4

(a)

Tudo o que temos que saber é substituir μ A , μ B e μ C por 0,20 na expressão (3)

2 e 0.20 + 0.20 + 0.20 π < m < 2 ∙ e 0.20 + 0.20 + 0.20 π

0.304   kg < m < 13.172   kg

(b)

Agora vamos substituir μ A e μ C por 0,20 e μ B por 0,50 na expressão (3)

2 e 0.20 + 0.50 + 0.20 π < m < 2 ∙ e 0.20 + 0.50 + 0.20 π

0.118   kg < m < 33.804   kg

Resposta

a   0.304   kg < m < 13.172   kg

b   0.118   kg < m < 33.804   kg

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