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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 124

Determine por integração direta os valores de x - para os dois sólidos obtidos passando-se um plano de corte vertical através da forma dada na Fig. 5.21. O plano de corte é paralelo à base da forma dada e divide-se em dois sólidos de mesma altura. (Um parabolóide de revolução).

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos notar é que a metade superior (que vamos analisar primeiro) é a que possui um volume maior, pois a “abertura” da casca é maior. Como já vimos nessa seção do livro, o elemento diferencial de volume de um disco qualquer de raio r e espessura d x é dado por:

d V = π r 2 d x

Agora, precisamos encontrar a relação entre o raio do parabolóide e a coordenada x , a curva que gera o parabolóide é dada por:

x = h - h a 2 r 2

Isolando r e escrevendo em função de x , temos:

r 2 = a 2 h ( h - x )

Então podemos reescrever a equação para o volume diferencial como:

d V = π r 2 d x → d V = π a 2 h h - x d x

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π a 2 h h - x d x

Resolvendo as integrais, temos:

V 1 = ∫ 0 h / 2 π a 2 h h - x d x = π a 2 h h x - x 2 2 0 h / 2

Substituindo os limites de integração:

V 1 = π a 2 h h h 2 - h 2 2 2 - 0 = π a 2 h h 2 2 - h 2 8

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a parte superior do parabolóide:

V 1 = 3 8 π a 2 h

Passo 2

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada x - E L = x :

x - 1 V 1 = ∫ x - E L d V

Então, substituindo o valor de x - E L e d V :

x - 1 V 1 = ∫ 0 h / 2 x π a 2 h h - x d x = ∫ 0 h / 2 π a 2 h h x - x 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

x - 1 V 1 = π a 2 h h x 2 2 - x 3 3 0 h / 2

Substituindo os limites de integração, temos:

x - 1 V 1 = π a 2 h h 2 h 2 2 - 1 3 h 2 3 = π a 2 h h 3 8 - h 3 24

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V 1 encontrado no passo 1:

x - 1 3 8 π a 2 h = 1 12 π a 2 h 2

E, isolando x - da equação, temos:

x - 1 = 2 9 h

Passo 3

Agora vamos fazer a mesma coisa, só que para a parte inferior do parabolóide, então, o volume pode ser escrito como:

∫ d V = ∫ π a 2 h h - x d x

Resolvendo as integrais, temos:

V 2 = ∫ h / 2 h π a 2 h h - x d x = π a 2 h h x - x 2 2 h / 2 h

Substituindo os limites de integração:

V 2 = π a 2 h h h - 1 2 h 2 - h h 2 - 1 2 h 2 2

V 2 = π a 2 h h 2 - 1 2 h 2 - 1 2 h 2 + 1 8 h 2

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a parte inferior do parabolóide:

V 2 = 1 8 π a 2 h

Passo 4

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em x com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada x - E L = x :

x - 2 V 2 = ∫ x - E L d V

Então, substituindo o valor de x - E L e d V :

x - 2 V 2 = ∫ h / 2 h x π a 2 h h - x d x = ∫ h / 2 h π a 2 h h x - x 2 d x

Resolvendo a integral, temos:

x - 2 V 2 = π a 2 h h x 2 2 - x 3 3 h / 2 h

Substituindo os limites de integração, temos:

x - 2 V 2 = π a 2 h h 2 h 2 - 1 3 h 3 - h 2 h 2 2 - 1 3 h 2 3

x - 2 V 2 = π a 2 h h 3 2 - 1 3 h 3 - h 3 8 - 1 24 h 3

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V 2 encontrado no passo 3:

x - 2 1 8 π a 2 h = 1 12 π a 2 h 2

E, isolando x - da equação, temos:

x - 2 = 2 3 h

Resposta

x - 1 = 2 9 h

x - 2 = 2 3 h

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