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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 89

Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante em A .

Passo 1

Sabemos que a força resultante será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A ( 0 ,   0 ,   1,2 )   m

B 0,9   ,   - 0,9 ,   0,75   m

C 0,6 ,   1,2 ,   0   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r A B = x B - x A i + y B - y A j + ( z B - z A ) k

r A B = 0,9 i - 0,9 j - 0,45 k   m

E para o outro:

r A C = x C - x A i + y C - y A j + ( z C - z A ) k

r A C = 0,6 i + 1,2 j - 1,2 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

r B = 0,9 2 + 0,9 2 + - 0,45 2

r B = 1,35   m

r C = 0,6 2 + 1,2 2 + - 1,2 2

r C = 1,8   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido de cada vetor:

u = r r

u B = 0,9 i - 0,9 j - 0,45 k 1,35

u B = 2 i 3 - 2 j 3 - 1 k 3

u C = ( 0,6 i + 1,2 j - 1,2 k ) 1,8

u C = 1 i 3 + 2 j 3 - 2 k 3

Passo 3

Com isso, podemos expressar cada força como um vetor cartesiano:

F B = F B   u B

F B = 3   k N   2 i 3 - 2 j 3 - 1 k 3

F B = 2 i - 2 j - 1 k   k N

F C = F C   u C

F C = 3,75   k N   1 i 3 + 2 j 3 - 2 k 3

F C = 5 i 4 + 5 j 2 - 5 k 2   k N

Passo 4

Nossa força resultante será:

F R = F B + F C

F R = 2 i - 2 j - 1 k + 5 i 4 + 5 j 2 - 5 k 2  

F R = 13 i 4 + j 2 - 7 j 2   k N

Agora podemos encontramos a intensidade da força resultante:

F R = 13 4 2 + 1 2 2 + - 7 2 2

F R = 4,8   k N

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 13 4 4,8 ∴ α = 47 °

β = cos - 1 ⁡ 1 2 4,8 ∴ β = 84 °

γ = cos - 1 ⁡ - 7 2 4,8 ∴ γ = 137 °

Resposta

F R = 4,8   k N

α = 47 °

β = 84 °

γ = 137 °

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