Enunciado

A porta é mantida aberta por duas correntes. Se as trações em A B e em C D são F A = 300   N e F C = 250   N , respectivamente, expresse cada uma dessas forças na forma de um vetor cartesiano.

Passo 1

Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

Para A :

x A = 0

y A = - (   1 + 1,5 cos ⁡ 30 ° )

y A = 2,299

z A = 1,5 sin ⁡ 30 °

z A = 0,750

Para C :

x C = - 2,50   m

y C = - 1 + 1,5 cos ⁡ 30 °

y C = - 2,299   m

z C = 1,5 sin ⁡ 30 °

z C = 0,750   m

Temos então:

A 0 ,   - 2,299 ,   0,750   m

B 0   ,   0   ,   0   m

C ( - 2,50 ,   - 2,299 ,   0,750 )   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r A B = 0 - 0 i + 0 - - 2,299 j + 0 - 0,750 k   m

r A B = 2,299 j - 0,750 k   m

r C D = - 0,5 - - 2,5 i + 0 - - 2,299 j + 0 - 0,750 k   m

r C D = 2,00 i + 2,299 j - 0,750 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r A B |   = 0 2 + 2,299 2 + - 0,750 2

r A B = 2,418   m

r C D = 2,00 2 + 2,299 2 + - 0,750 2

r C D = 3,138   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u A B = ( 2,299 j - 0,750 k ) 2,418

u A B = 0,9507 j - 0,3101 k

u C D = ( 2,00 i + 2,299 j - 0,750 k ) 3,138

u C D = 0,6373 i + 0,7326 j - 0,2390 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos:

F = F   u

F A B = 300   N   ( 0,9507 j - 0,3101 k )

F A B = 285 j - 93,0 k   N

F C D = 250   N   ( 0,6373 i + 0,7326 j - 0,2390 k )

F C D = ( 159 i + 183 j - 59,7 k )   N

Resposta

F A B = 285 j - 93,0 k   N

F C D = ( 159 i + 183 j - 59,7 k )   N

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