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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 14ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 14º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 101

A torre é mantida no lugar pelos três cabos. As forças em cada cabo que atuam sobre a torre estão indicadas na figura. Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados α , β , γ da foça resultante. Considera x = 20   m , y = 15   m .

Passo 1

Sabemos que a força resultante será o somatório das nossas forças, então antes vamos definir cada uma delas. Para expressar nossas forças como vetor vamos começar encontrando as coordenadas dos pontos que definem a sua direção:

A ( 20   ,   15   ,   0 )   m

B - 6   ,   4   ,   0   m

C ( 16   ,   - 18   ,   0 )   m

D 0   ,   0   ,   24   m

Definimos agora nossos vetores posição pelo ponto final menos inicial com seus devidos vetores unitários, assim:

r = x f - x i i + y f - y i j + ( z f - z i ) k

r D A = 20 i + 15 j - 24 k   m

r D B = - 6 i + 4 j - 24 k   m

r D C = 16 i - 18 j - 24 k   m

Passo 2

Agora encontramos o módulo dos nossos vetores:

| r D A |   = 20 2 + 15 2 + - 24 2

r D A = 35   m

r D B = - 6 2 + 4 2 + - 24 2

r D B = 25   m

r D C = 16 2 + - 18 2 + - 24 2

r D C = 34   m

E então o vetor unitário que determina a direção e o sentido dos nossos vetores são:

u = r r

u D A = ( 20 i + 15 j - 24 k ) 35

u D A = 0,57 i + 0,43 j - 0,69 k

u D B = ( - 6 i + 4 j - 24 k ) 25

u D B = - 0,24 i + 0,16 j - 0,96 k

u D C = ( 16 i - 18 j - 24 k ) 34

u D C = 0,47 i - 0,53 j - 0,71 k

Passo 3

Com isso, podemos expressar nossas forças como vetores cartesianos:

F = F   u

F D A = 400   N   ( 0,57 i + 0,43 j - 0,69 k )

F D A = 228 i + 172 j - 276 k   N

F D B = 800   N   ( - 0,24 i + 0,16 j - 0,96 k )

F D B = ( - 192 i + 128 j - 768 k )   N

F D C = 600   N   ( 0,47 i - 0,53 j - 0,71 k )

F D C = 282 i - 318 j - 426 k   N

Passo 4

Nossa força resultante será:

F R = F D A + F D B + F D C

F R = 228 i + 172 j - 276 k + - 192 i + 128 j - 768 k + ( 282 i - 318 j - 426 k )

F R = 318 i - 18 j - 1470 k   N

Agora podemos encontramos a intensidade da força resultante:

F R = 318 2 + - 18 2 + - 1470 2

F R = 1504   N

Passo 5

Finalmente encontramos os ângulos de direção coordenados da força pela relação:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 318 1504 ∴ α = 78 °

β = cos - 1 ⁡ - 18 1504 ∴ β = 91 °

γ = cos - 1 ⁡ - 1470 1504 ∴ γ = 168 °

Resposta

F R = 1504   N

α = 78 °

β = 91 °

γ = 168 °

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