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Enunciado

Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 92

Determine o momento de inércia I x e expresse o resultado em termos da massa total m do cone. A esfera possui densidade constante ρ .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o momento de inercia em relação ao eixo x da figura em termos da massa. Sabemos que ele é dado por:

I x = ∫ y 2   d A

Onde y é a distância perpendicular do eixo até o elemento d m . Primeiro, temos que determinar o elemento diferencial:

Em seguida, como o corpo é constituído por um material de densidade ρ , temos que:

d m = ρ   d V = ρ π y 2   d x = π ρ r 2 - x 2   d x

Passo 2

Com isso, vamos calcular o momento de inercia do elemento, ele é dado por:

d I x = y 2 2 d m = 1 2 ρ π r 2 - x 2     d x

Integrando a equação por toda a esfera, temos:

I x = ∫ - r r 1 2 ρ π r 2 - x 2 2   d x   I x = 8 15 π ρ r 5

Opa, encontramos o momento de inercia, porém, o enunciado nos pede para encontramos o momento em termos da massa. Por isso, vamos determinar a massa:

m = ∫ ρ   d V = ∫ - r r ρ r 2 - x 2   d x   m = 4 3 π ρ r 3

Por fim, basta substituirmos a massa no momento de inercia. Assim, o nosso resultado vai ser:

I x = 2 5 m r 2

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

I x = 2 5 m r 2

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