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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 8

Determine o momento de inércia I z de massa do cone formado girando-se a área sombreada em torno do eixo z . A densidade do material é ρ . Expresse o resultado em termos da massa m do cone.

Passo 1

Sabemos que d m = ρ d V e, para o cone em questão, podemos considerar o elemento diferenciável d V como sendo π r 2 d z . O raio seria uma parte do eixo y que quando o calculamos por semelhança de triângulo, vamos chegar na igualdade r = y = r o - r o h 2 . Então, podemos escrever,

d m = ρ π r o - r o h z 2 d z

A fórmula acima é a parte diferenciável. Para encontrarmos o massa, vamos integrar a parte diferenciável de 0 a h. Então,

m = ∫ d m = ∫ o h ρ π r o - r o h z 2 d z = 1 3 ρ π r o 2 h

Passo 2

O momento de inércia do elemento pode ser calculado por:

d I z = 1 2 r 2 d m = 1 2 r 2 ρ π r 2 d z = 1 2 ρ π r 4 d z = 1 2 ρ π r o - r o h z 4 d z

A fórmula acima é a parte diferenciável. Para encontrarmos o momento de inércia, vamos integrar a parte diferenciável de 0 a h. Então,

I z = ∫ d I z = ∫ o h 1 2 ρ π r o - r o h z 4 d z = 1 10 ρ π r o 4 h

Passo 3

Encotramos o valor da massa e do mometo de inércia. Agora basta fazermos um uma jogada matemática para colocar a massa dentro do momento de inércia. Então,

I z = 1 10 ρ π r o 4 h = 1 3 ρ π r o 2 h 3 10 r o 2 = 3 10 m r o 2

Resposta

I z = 3 10 m r o 2

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