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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.10 - Ex. 89

O disco circular fino de massa m e raio R é articulado em torno de seu eixo tangente horizontal à extremidade de um eixo, que gira em torno de seu eixo vertical com uma velocidade angular ω . Determine o ângulo de regime permanente β assumido pelo plano do disco com o eixo vertical. Observe qualquer limitação sobre ω para assegurar que β > 0 .

Passo 1

Para resolvermos esse problema vamos precisar usar as relações de momento fletor como também calcular a componente do momento de inércia do sistema.

Passo 2

Temos que o sistema gira em torno do eixo z , assim temos que ω = ω z e, como ω é constante, ω z ˙ = 0 . Vemos também que as forças são aplicadas na direção y e z , dessa forma temos que o momento fletor será ∑ M x = I y z ⋅ ω 2 . Precisamos então calcular o momento de inércia agora, que será dado por

I y z = ∫ y ⋅ z ⋅ d m = ∫ y o ⋅ sin ⁡ β ⋅ y o ⋅ cos ⁡ β ⋅ d m

I y z = 1 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ 1 4 ⋅ m ⋅ R 2 + m ⋅ R 2 = 5 8 ⋅ m ⋅ R 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β

Dessa forma, como M x = m ⋅ g ⋅ R ⋅ sin ⁡ β . Temos que

m ⋅ g ⋅ R ⋅ sin ⁡ β = 5 8 ⋅ m ⋅ R 2 ⋅ sin ⁡ 2 ⋅ β ⋅ ω 2

Manipulando a equação, temos que β = cos - 1 ⁡ 4 ⋅ g 5 ⋅ R ⋅ ω 2 . Porém queremos que β > 0 , para isso ω 2 ≥ 4 ⋅ g 5 ⋅ R . Caso contrário, β = 0

Resposta

β = cos - 1 ⁡ 4 ⋅ g 5 ⋅ R ⋅ ω 2   p a r a   ω 2 ≥ 4 ⋅ g 5 ⋅ R

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