O disco circular com raio de 200   m m m possui uma massa de 25   k g com raio de giração centroidal k - = 175   m m e possui uma ranhura circular concêntrica, com raio de 75   m m , cortada nele. Uma força constante T é aplicada, em um ângulo θ , ao cabo enrolado em torno da ranhura como mostrado. Se T = 30   N , θ = 0 , μ s = 0,10 e μ k = 0,08 , determine a aceleração angular α do disco, a aceleração a do seu centro de massa G , e a força de atrito F exercida pela superfície no disco.

Passo 1

Vamos começar desenhando um diagrama da situação no caso em que θ = 0 :

Agora vamos aplicar a segunda lei de Newton nas direções horizontal e vertical:

∑ F y = 0

∑ F x = m a x

E então:

N - P = 0

T - F = m a

E agora vamos analisar o momento resultante em relação ao centro de massa:

∑ M c m = I α

T 0,075 - F 0,200 = m k 2 α

Onde k é o raio de giração.

Passo 2

E então ficamos com um sistema de três equações:

N - P = 0 T - F = m a T 0,075 - F 0,200 = m k 2 α

E podemos escrever uma equação extra se considerarmos que o disco rola sem deslizar:

a = - r α

E nosso objetivo é encontrar α , a e F , de forma que não precisamos da primeira equação, então:

T - F = m a T 0,075 - F 0,200 = m k 2 α a = r α

Vamos substituir os valores numéricos:

30 - F = 25 a 30 0,075 - F 0,200 = 25 0,175 2 α a = - 0,200 α

F = 30 - 25 a 2,25 - 0,2   F = 0,766 α a = - 0,2 α

Vamos multiplicar a primeira equação por 0,2 e somar com a segunda:

2,25 = 6 - 5 a + 0,766 α

5 a = 0,766 α + 3,75

E agora substituindo com a terceira equação:

5 - 0,2 α = 0,766 α + 3,75

α = - 2,12   r a d / s 2

E podemos substituir isso na terceira equação para calcular a :

a = - 0,2 2,12 = 0,424   m / s 2

E podemos substituir isso na primeira equação para calcular:

F = 30 - 25 0,424

F = 19,4   N

Passo 3

Agora só precisamos verificar se a nossa condição de rolamento sem deslizamento era razoável.

Já que o coeficiente de atrito estático é 0,1 , então a força de atrito máxima que pode existir entre o disco e o plano é:

F m á x = μ s N

F m á x = 0,1 m g = 0.1 25 9,81 = 24,525   N

E essa força é superior a F = 19,4   N , então a nossa suposição é razoável.

Resposta

F = 19,4   N , α = - 2,12   r a d / s 2 e a = 0,425   m / s 2 .

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