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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.12 - Ex. 140

O disco circular uniforme com 100   m m de raio e pequena espessura possui massa de 3.6kg e está girando em torno de seu eixo y’ à taxa N = 300   r p m com seu plano de rotação inclinado em um ângulo constante β = 20 ° em relação ao plano vertical x-z. Simultaneamente, o conjunto gira em torno do eixo fixo z à taxa p = 60 r p m . Calcule a quantidade de movimento angular H O → do disco isolado, em relação à origem O das coordenadas x-y-z. Calcule também a energia cinética T do disco.

Passo 1

Vamos utilizar a equação da quantidade de movimento para o sistema inteiro, utilizaremos então o ponto O como referência:

H O → = H C → + r → × G →

Onde r → será a posição do centro de massa do disco, ou seja, a distância entre o disco e a origem O, e H C → é a quantidade de movimento para o disco e G → :

G → = m v → c

Sendo v → c a velocidade linear do disco.

Passo 2

Precisamos determinar as componentes da velocidade angular do disco em relação aos eixos x’, y’ e z’, que será a soma da rotação do disco em seu próprio eixo mais a rotação da peça inteira em torno de z:

ω x ' = 0

ω y ' = 300 r e v m i n 2 π 60 s / m i n + 60 r e v m i n 2 π 60 s / m i n s e n 20 ° = 33.6 r a d / s

ω z ' = 60 r e v m i n 2 π 60 s / m i n c o s 20 ° = 5.9 r a d / s

Os termos cosseno e seno aparecem pois a velocidade angular do centro está na direção z, e precisamos alinhar ela aos eixos z’ e y’, além disso, o primeiro termo de ω y ' não aparece em ω z ' pois a rotação do disco sempre vai ocorrer apenas na direção do eixo y’, mesmo que o conjunto inteiro gire.

Passo 3

Com os valores das componentes da velocidade angular, precisamos calcular os momentos de inercia em relação a cada componente para podermos calcular a quantidade de movimento do disco:

I y ' y ' = 1 2 m R 2 = 1 2 3.6 k g ( 100 m m ) 2 = 0.0018 k g / m 2

I z ' z ' = 1 4 m R 2 = 1 4 3.6 k g ( 100 m m ) 2 = 0.0009 k g / m 2

Passo 4

Calculamos agora H C → :

H C → = I y ' y ' ω y ' j ^ ' + I z ' z ' ω z ' k ^ ' = 0.0018 k g / m 2 ( 33.6 r a d / s ) j ^ ' + 0.0009 k g / m 2 5.9 r a d / s k ^ '

H C → = 0.06 k g / s   . m 2 j ^ ' + 0.005 k g / s   . m 2 k ^ '

Utilizando o ângulo de 20° para converter a base:

H C → = 0.06 k g / s   . m 2 j ^ + 0.00 2 k g / s   . m 2 k ^

Passo 5

Temos um termo para calcularmos a quantidade de movimento do sistema todo, está faltando r → × G → , sendo que a posição do centro de massa é dada e pela equação de G → precisaremos da velocidade do centro de massa do disco

v → c = p k ^ × r → = 60 r e v m i n 2 π 60 s / m i n k ^ × 0.250 m i ^ = 1.57 m / s j ^

G → será:

G → = 3.6 k g 1.57 m s j ^ = 5.652   k g . m / s j ^

E o produto vetorial:

r → × G → = 0.250 m i ^ × 5.652   k g . m / s j ^ = 1.413 k g . m 2 / s k ^

Passo 6

Substituindo cada valor na equação de H O → :

H O → = 0.06 k g / s   . m 2 j ^ + 0.002 k g / s   . m 2 k ^ + 1.413 k g . m 2 / s k ^

H O → = 0.06 k g / s   . m 2 j ^ + 1.415 k g . m 2 / s k ^

Passo 7

A energia cinética será dada por:

T = 1 2 v → c ∙ G → + 1 2 ω → ∙ H C →

Sendo que ω → é:

ω → = 300 r e v m i n 2 π 60 s / m i n c o s 20 ° j ^ + 300 r e v m i n 2 π 60 s / m i n s e n 20 ° k ^ = 29.5 r a d / s j ^ + 17.03 r a d / s k ^

O seno e o cosseno aparecem para ajustar o vetor de rotação do disco para o referencial x-y-z, já que antes estava apontado na direção de y’.

A energia cinética será:

T = 1 2 1.57 m / s j ^ ∙ 5.652   k g . m s j ^ + 1 2 29.5 r a d / s j ^ + 17.03 r a d / s k ^ ∙ 0.06 k g / s   . m 2 j ^ + 0.002 k g / s   . m 2 k ^

T = 5.34   J

Resposta

H O → = 0.06 k g / s   . m 2 j ^ + 1.415 k g . m 2 / s k ^

T = 5.34   J

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